18. Диаметры AB и CD окружности пересекаются в точке O. Найдите величину угла ADO, если LBOD = 150°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

Дано:

Диаметры AB и CD пересекаются в точке O.

\( \angle BOD = 150^{\circ} \)

Найти:

\( \angle ADO \)

1. Углы \( \angle BOD \) и \( \angle AOC \) являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOC = \angle BOD = 150^{\circ} \).
2. Углы \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) являются вертикальными. Сумма всех углов вокруг точки O равна 360°.
3. \( \angle BOC + \angle AOD = 360^{\circ} - (\angle BOD + \angle AOC) = 360^{\circ} - (150^{\circ} + 150^{\circ}) = 360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ} \).
4. Так как \( \angle BOC = \angle AOD \), то \( \angle AOD = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \).
5. Рассмотрим треугольник \( \triangle AOD \). OA и OD являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OD \). Треугольник \( \triangle AOD \) — равнобедренный.
6. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAD = \angle ODA \).
7. Сумма углов в \( \triangle AOD \) равна 180°.
8. \( \angle OAD + \angle ODA + \angle AOD = 180^{\circ} \)
9. \( 2 \angle ODA + 30^{\circ} = 180^{\circ} \)
10. \( 2 \angle ODA = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \)
11. \( \angle ODA = 150^{\circ} / 2 = 75^{\circ} \)

Ответ: 75°.