17. Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Краткое пояснение:

Пусть задуманное двузначное число будет $$x$$. Когда к нему справа приписывают это же число, получается четырехзначное число. Например, если задумано число 25, то получится 2525. Это можно представить как $$100 imes x + x$$, что равно $$101 imes x$$. Нам нужно найти такое двузначное число $$x$$, которое делится на 5, и чтобы $$101 imes x$$ делилось на 11.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим четырехзначное число. Пусть двузначное число равно $$10a + b$$, где $$a$$ - цифра десятков, $$b$$ - цифра единиц. Число делится на 5, значит, $$b$$ может быть 0 или 5.
2. Шаг 2: Приписывание числа к самому себе справа означает, что новое число равно $$100 imes (10a + b) + (10a + b) = 101 imes (10a + b)$$.
3. Шаг 3: Мы знаем, что $$101 imes (10a + b)$$ делится на 11. Так как 101 не делится на 11 (101 = 11 * 9 + 2), то число $$(10a + b)$$ должно делиться на 11.
4. Шаг 4: Теперь у нас есть два условия для двузначного числа $$x = 10a + b$$:
• $$x$$ делится на 5 (то есть $$b = 0$$ или $$b = 5$$).
• $$x$$ делится на 11.
5. Шаг 5: Найдем двузначные числа, которые делятся на 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
6. Шаг 6: Из этих чисел выберем те, которые делятся на 5. Это число 55.
7. Шаг 7: Проверим: если задумано число 55, то получится 5555. Разделим 5555 на 11: $$5555 \div 11 = 505$$. Число делится на 11.

Ответ: 55