17. Высота ВН ромба ABCD делит сторону AD на отрезки АН = 6 и DH = 4. Найдите площадь ромба.

Решение:

1. В ромбе ABCD высота BH делит сторону AD на отрезки AH = 6 и DH = 4. Следовательно, сторона ромба AD = AH + DH = 6 + 4 = 10.

2. В прямоугольном треугольнике ABH (угол AHB = 90°) BH является высотой, а AH = 6. По теореме о среднем геометрическом в прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к гипотенузе, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. В данном случае, BH является катетом, а AH и DH — отрезками, на которые высота делит сторону AD, однако BH не является высотой к гипотенузе AB.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Сторона AB является гипотенузой, AH = 6. BH — катет. Воспользуемся теоремой Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник DBH. Сторона BD является диагональю ромба, DH = 4. BH — катет.

5. В ромбе ABCD, AB = AD = 10. В прямоугольном треугольнике ABH: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).

\( 10^2 = 6^2 + BH^2 \)

\( 100 = 36 + BH^2 \)

\( BH^2 = 100 - 36 = 64 \)

\( BH = \sqrt{64} = 8 \) (высота ромба).

6. Площадь ромба находится по формуле: \( S = a \cdot h \), где \( a \) — сторона ромба, \( h \) — высота.

\( S = AD \cdot BH = 10 \cdot 8 = 80 \) квадратных единиц.

Ответ: 80.