17. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 14 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Дано:

• Ночью №1 пришли мышки и съели 14 головок сыра поровну.
• Ночью №2 пришли 11 мышек.
• Каждая мышка ночью №2 съела в 2 раза меньше, чем ночью №1.

Найти: Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Решение:

1. Обозначим количество мышек, приходивших в первую ночь:

   Пусть x - количество мышек, приходивших в первую ночь.

2. Обозначим, сколько сыра съела каждая мышка в первую ночь:

   Каждая мышка съела $$14 / x$$ головок сыра.

3. Обозначим, сколько сыра съела каждая мышка во вторую ночь:

   Каждая мышка съела $$ (14 / x) / 2 = 7 / x $$ головок сыра.

4. Найдем общее количество сыра, съеденного во вторую ночь:

   11 мышек съели $$ 11 \times (7 / x) = 77 / x $$ головок сыра.

5. Составим уравнение, так как съеденного сыра во вторую ночь меньше, чем в первую:

   14 (съедено в первую ночь) - 77/x (съедено во вторую ночь) = Оставшийся сыр. Но мы не знаем, сколько осталось. Но мы знаем, что 11 мышек съели в 2 раза меньше, чем каждая мышка в 1ю ночь. Это означает, что они съели в сумме меньше, чем 14 головок. Иначе говоря, $$ 77/x < 14 $$.

6. Упростим условие:

   Обозначим количество сыра, которое съела каждая мышка в первую ночь, как 1 условную единицу (УЕ). Тогда во вторую ночь каждая мышка съела 0.5 УЕ.

   В первую ночь было съедено 14 головок сыра. Пусть n - количество мышек. Тогда $$ n \times 1 УЕ = 14 $$ головок сыра.

   Во вторую ночь было 11 мышек. Они съели $$ 11 \times 0.5 УЕ = 5.5 $$ УЕ.

   Так как 1 УЕ = 14/n головок, то $$ 5.5 \times (14/n) = 77/n $$ головок сыра было съедено во вторую ночь.

7. Найдем общее количество головок сыра:

   Поскольку каждая из 11 мышек съела в 2 раза меньше, чем съела бы одна мышка из первой группы, и известно, что было съедено 14 головок, то:

   Пусть $$x$$ - количество головок сыра, съеденных одной мышкой в первую ночь. Тогда $$x/2$$ - количество головок сыра, съеденных одной мышкой во вторую ночь.

   Пусть $$N$$ - количество мышек в первую ночь. Тогда $$N \times x = 14$$.

   Во вторую ночь было 11 мышек. Они съели $$11 \times (x/2) = 11x/2$$ головок сыра.

   Мы знаем, что $$x = 14/N$$. Подставляем это в выражение для второй ночи:

   \[ 11 \times \frac{14/N}{2} = \frac{11 \times 14}{2N} = \frac{154}{2N} = \frac{77}{N} \]
8. Найдем количество головок сыра, съеденных во вторую ночь:

   Так как в первую ночь съели 14 головок, а во вторую в сумме съели меньше, и каждая мышка съела в 2 раза меньше, то мы можем найти, сколько головок сыра пришлось на одну мышку во вторую ночь. Если мы знаем, что 11 мышек съели оставшийся сыр, и каждая съела в 2 раза меньше, чем в первую ночь, то:

   Пусть $$k$$ - количество мышек в первую ночь. Каждая съела $$14/k$$ головок. Во вторую ночь 11 мышек съели $$11 \times (14/k)/2 = 77/k$$ головок.

   Так как во вторую ночь съели *оставшийся* сыр, а каждая мышка съела меньше, то количество съеденного во вторую ночь сыра должно быть меньше, чем 14. $$77/k < 14$$.

   Чтобы найти общее количество сыра, нужно понять, сколько было съедено во вторую ночь. Если каждая из 11 мышек съела в 2 раза меньше, то всего они съели в $$11 \times 2 = 22$$ раза меньше, чем если бы 11 мышек съели столько же, сколько в первую ночь. Это не совсем так.

   Переформулируем:

   Пусть $$x$$ - количество сыра, съеденное одной мышкой в первую ночь. Тогда $$x/2$$ - количество сыра, съеденное одной мышкой во вторую ночь.

   Пусть $$N$$ - количество мышек в первую ночь. Всего было съедено $$N \times x = 14$$ головок.

   Во вторую ночь было 11 мышек. Они съели $$11 \times (x/2) = 11x/2$$ головок.

   Так как $$x = 14/N$$, то во вторую ночь было съедено: $$11 \times (14/N)/2 = 77/N$$ головок.

   Количество сыра, съеденного во вторую ночь, не может быть больше, чем было съедено в первую ночь, и должно быть меньше, чем 14, так как мышки съели