17. В 5 разных кабинетах дежурные нашли 12 учебников Маши-растеряши. В каких-то трех кабинетах учебников нашли в 3 раза больше, чем в остальных, а в каких-то трех - в 2 раза меньше, чем в остальных. Какое наибольшее количество учебников могли найти в одном кабинете? (А) 6 (Б) 7 (В) 8 (Г) 9 (Д) 12

Решение:

Обозначим количество учебников в пяти кабинетах как \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\). Общее количество учебников равно 12:

\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 12\)

Пусть три кабинета имеют большее количество учебников, а три - меньшее. Это означает, что у нас есть группы кабинетов с разным количеством учебников.

По условию, в каких-то трех кабинетах учебников нашли в 3 раза больше, чем в остальных. Это означает, что три кабинета имеют одинаковое количество учебников, и это количество в 3 раза больше, чем в двух других кабинетах, которые тоже имеют одинаковое количество.

Пусть \(x\) - количество учебников в двух кабинетах, а \(3x\) - количество учебников в трех кабинетах.

Уравнение: \(3 \cdot (3x) + 2 · x = 12\)

\(9x + 2x = 12\)

\(11x = 12\)

\(x = \frac{12}{11}\)

Это нецелое число, что означает, что это условие не может быть выполнено в таком виде. Переформулируем условие: В каких-то трех кабинетах учебников нашли в 3 раза больше, чем В КАЖДОМ ИЗ ОСТАЛЬНЫХ. А в каких-то трех - в 2 раза меньше, чем В КАЖДОМ ИЗ ОСТАЛЬНЫХ. Это одновременное условие невозможно. Условия относятся к разным группам кабинетов.

Рассмотрим два сценария, как указано в условии:

Сценарий 1: Три кабинета имеют в 3 раза больше учебников, чем остальные два.

Пусть \(a\) — количество учебников в двух «остальных» кабинетах, а \(3a\) — количество учебников в трех «больших» кабинетах.

\(3 · (3a) + 2 · a = 12\)

\(9a + 2a = 12\)

\(11a = 12\)

\(a = \frac{12}{11}\)

Это число не является целым, поэтому этот сценарий не подходит для получения целого количества учебников.

Сценарий 2: Три кабинета имеют в 2 раза меньше учебников, чем остальные два.

Пусть \(b\) — количество учебников в двух «остальных» кабинетах, а \(\frac{b}{2}\) — количество учебников в трех «меньших» кабинетах.

\(3 · \frac{b}{2} + 2 · b = 12\)

\(\frac{3b}{2} + \frac{4b}{2} = 12\)

\(\frac{7b}{2} = 12\)

\(7b = 24\)

\(b = \frac{24}{7}\)

Это число не является целым, поэтому этот сценарий также не подходит.

Переосмысление условия:

Условие «в каких-то трех кабинетах учебников нашли в 3 раза больше, чем в остальных» означает, что есть 3 кабинета с количеством \(3x\) и 2 кабинета с количеством \(x\).

Условие «а в каких-то трех - в 2 раза меньше, чем в остальных» означает, что есть 3 кабинета с количеством \(y/2\) и 2 кабинета с количеством \(y\).

Задача подразумевает, что эти условия относятся к одному и тому же набору из 5 кабинетов. Но одновременно выполняться не могут. Значит, мы должны рассмотреть эти условия по отдельности, чтобы найти максимальное количество учебников в одном кабинете.

Вариант 1: Три кабинета содержат в 3 раза больше учебников, чем два других.

Пусть в двух кабинетах по \(x\) учебников, а в трех — по \(3x\) учебников. Всего 5 кабинетов.

\(2x + 3(3x) = 12\)

\(2x + 9x = 12\)

\(11x = 12\)

\(x = \frac{12}{11}\). Это не целое число. Значит, количество учебников не может быть одинаковым в этих группах.

Давайте предположим, что количество учебников в кабинетах может быть разным, но соотношения сохраняются.

Случай 1: Три кабинета имеют в 3 раза больше учебников, чем ОДИН другой кабинет.

Пусть в 3 кабинетах по \(3x\) учебников, а в 2 кабинетах по \(y\) учебников.

\(3(3x) + 2y = 12 \Rightarrow 9x + 2y = 12\)

Чтобы максимизировать \(3x\), мы должны минимизировать \(y\). Минимальное целое \(y = 1\). Тогда \(9x = 10\), \(x = 10/9\) (не целое).

Если \(y=0\), то \(9x=12\), \(x=12/9\) (не целое).

Случай 1, где 3 кабинета имеют \(3x\), а 2 кабинета имеют \(x\) (т.е. остальные кабинеты имеют одинаковое количество):

\(3 · 3x + 2 · x = 12\)

\(9x + 2x = 12\)

\(11x = 12\)

\(x = 12/11\). Количество учебников в каждом кабинете не будет целым.

Случай 2: Три кабинета имеют в 2 раза меньше учебников, чем два других.

Пусть в 3 кабинетах по \(y/2\) учебников, а в 2 кабинетах по \(y\) учебников.

\(3(y/2) + 2y = 12\)

\(1.5y + 2y = 12\)

\(3.5y = 12\)

\(y = 12 / 3.5 = 24/7\). Количество учебников не будет целым.

Переформулируем: