17. Тип 17 № 7263 Упростите числовое выражение $$\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}}$$.

Решение:

• Обозначим исходное выражение как $$X = \sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}}$$.
• Возведем обе части уравнения в квадрат: $$X^2 = (\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}})^2$$.
• Раскроем квадрат суммы: $$X^2 = (27+10\sqrt{2}) + (27-10\sqrt{2}) + 2\sqrt{(27+10\sqrt{2})(27-10\sqrt{2})}$$.
• Упростим: $$X^2 = 54 + 2\sqrt{27^2 - (10\sqrt{2})^2}$$.
• Вычислим подкоренное выражение: $$27^2 = 729$$, $$(10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$$.
• $$X^2 = 54 + 2\sqrt{729 - 200} = 54 + 2\sqrt{529}$$.
• Извлечем квадратный корень из 529: $$\sqrt{529} = 23$$.
• $$X^2 = 54 + 2 \cdot 23 = 54 + 46 = 100$$.
• $$X = \sqrt{100}$$.
• Так как исходные выражения под корнями положительны, $$X$$ также положительно.
• $$X = 10$$.

Ответ: 10