17. Найди значение выражения $$\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} - \sqrt{17}$$.

Решение:

• Преобразуем выражение под первым корнем. Мы хотим представить $$98 + 18\sqrt{17}$$ в виде квадрата суммы $$(a + b\sqrt{17})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{17} + b^2 \cdot 17$$.
• Приравниваем коэффициенты: $$2ab = 18 \implies ab = 9$$.
• Также $$a^2 + 17b^2 = 98$$.
• Подбираем целые значения $$a$$ и $$b$$. Если $$b=1$$, то $$a=9$$. Проверяем: $$9^2 + 17 \cdot 1^2 = 81 + 17 = 98$$. Это верно.
• Значит, $$\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} = \sqrt{(9 + \sqrt{17})^2} = 9 + \sqrt{17}$$.
• Теперь подставляем это обратно в исходное выражение: $$(9 + \sqrt{17}) - \sqrt{17}$$.
• Вычисляем: $$9 + \sqrt{17} - \sqrt{17} = 9$$.

Ответ: 9