167. На рисунке 263 прямые NA, NB и DF касаются окружности в точках А, В и Е соответственно. Найдите периметр треугольника NDF, если NB = 8 см.

Решение:

В задачах, где прямые, выходящие из одной точки, касаются окружности, отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Из точки N к окружности проведены касательные NF и NE. Следовательно, NF = NE.

Из точки N к окружности также проведены касательные NA и NB. Следовательно, NA = NB. По условию NB = 8 см, значит, NA = 8 см.

Касательная DF касается окружности в точке E. Отрезки касательных от точки D к окружности равны: DE = DB.

Касательная DF касается окружности в точке F. Отрезки касательных от точки F к окружности равны: FA = FE.

Теперь рассмотрим периметр треугольника NDF. Периметр (P) треугольника равен сумме длин всех его сторон:

PNDF = ND + DF + NF

Заменим DF на сумму отрезков DE + EF:

PNDF = ND + DE + EF + NF

Так как DE = DB и EF = FA, подставим это в формулу:

PNDF = ND + DB + FA + NF

Сгруппируем члены:

PNDF = (ND + DB) + (FA + NF)

Обратите внимание, что ND + DB = NB и FA + NF = NA.

Таким образом, периметр треугольника NDF равен:

PNDF = NB + NA

По условию NB = 8 см, и мы выяснили, что NA = NB = 8 см.

PNDF = 8 см + 8 см = 16 см

Ответ: Периметр треугольника NDF равен 16 см.