16. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC. Угол OCD равен 40° (см. рис. 22). Найдите величину угла OAB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В окружности радиусы, проведённые к точкам на окружности, равны. Поэтому OC = OB = OD = OA (радиусы).

Рассмотрим треугольник OCD:

• OC = OD (радиусы)
• Значит, треугольник OCD — равнобедренный.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому угол ODC = угол OCD = 40°.

Теперь рассмотрим треугольник OAB:

• OA = OB (радиусы)
• Значит, треугольник OAB — равнобедренный.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому угол OAB = угол OBA.

Углы OCD и OAB являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых CD и AB секущей AD (или BC).

Если CD || AB, то угол OAB = угол OCD.

Однако, чтобы доказать параллельность CD и AB, нам нужно знать, что AD и BC являются диаметрами. Это дано в условии.

Рассмотрим углы при центре окружности:

• Угол COD = 180° - (угол OCD + угол ODC) = 180° - (40° + 40°) = 180° - 80° = 100°.
• Углы COD и AOB являются вертикальными, следовательно, угол AOB = угол COD = 100°.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник AOB:

• OA = OB (радиусы).
• Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°.
• Угол OAB + угол OBA + угол AOB = 180°.
• Так как угол OAB = угол OBA, то 2 * угол OAB + 100° = 180°.
• 2 * угол OAB = 180° - 100° = 80°.
• Угол OAB = 80° / 2 = 40°.

Ответ: 40