16. Угол N трапеции MNKP с основаниями MP и NK, вписанной в окружность, равен 129°. Найди угол М этой трапеции. Ответ дай в градусах.

Решение:

Трапеция MNKP вписана в окружность. Это означает, что сумма противоположных углов равна 180°.

Дано: трапеция MNKP, \( ∠ N = 129^{\circ} \).

Найти: \( ∠ M \).

1. Так как трапеция вписана в окружность, то \( ∠ N + ∠ P = 180^{\circ} \) и \( ∠ M + ∠ K = 180^{\circ} \).
2. Нам дан угол \( ∠ N = 129^{\circ} \).
3. По свойству вписанной трапеции, сумма углов \( ∠ N \) и \( ∠ P \) равна 180°, но это не тот угол, который нам нужен.
4. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной, то есть \( MN = KP \) и \( ∠ M = ∠ P \), \( ∠ N = ∠ K \).
5. Но в задаче дан угол N, который является одним из углов при основании NK. Другой угол при основании NK - это угол K. Значит, \( ∠ N = ∠ K = 129^{\circ} \).
6. Углы M и P являются углами при другом основании MP. В равнобедренной трапеции сумма углов прилежащих к боковой стороне равна 180°.
7. Следовательно, \( ∠ M + ∠ N = 180^{\circ} \) (углы, прилежащие к боковой стороне MN).
8. \( ∠ M = 180^{\circ} - ∠ N \)
9. \( ∠ M = 180^{\circ} - 129^{\circ} \)
10. \( ∠ M = 51^{\circ} \)

Ответ: 51°.