16. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки M, N и P. Известно, что ∠MNP = 58° и ∠OMN = 20° (см. рис. 79). Найдите угол NPO. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике \(OMN\) радиусы \(OM\) и \(ON\) равны, поэтому он равнобедренный. Следовательно, \(\angle ONM=\angle OMN=20^\circ\), а центральный угол \(MON=180^\circ-20^\circ-20^\circ=140^\circ\).

Вписанный угол \(MPN\), опирающийся на дугу \(MN\), равен половине центрального угла \(MON\): \(\angle MPN=70^\circ\).

В треугольнике \(MNP\): \(\angle NMP=180^\circ-58^\circ-70^\circ=52^\circ\).

Угол \(NMP\) и центральный угол \(NOP\) опираются на одну дугу \(NP\), поэтому \(\angle NOP=2\cdot52^\circ=104^\circ\). В равнобедренном треугольнике \(NOP\) радиусы \(ON=OP\), значит, \(\angle NPO=\frac{180^\circ-104^\circ}{2}=38^\circ\).

Ответ: 38°.