16. Тип 14 № 11103 Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 31°, ∠2 = 106°. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Прямые m || n
• ∠1 = 31°
• ∠2 = 106°

Найти: ∠3

Решение:

1. Проведем прямую, параллельную m и n, через вершину угла 2.
2. Угол, смежный с углом 2, будет равен 180° - 106° = 74°.
3. Угол 1 и угол, накрест лежащий ему с другой секущей, равны 31°.
4. Угол 3 состоит из двух частей: угла, равного 31°, и угла, который является внутренним накрест лежащим с частью угла 2.
5. Угол, смежный с углом 2, равен 180° - 106° = 74°.
6. Угол 3 = ∠1 + (180° - ∠2) = 31° + (180° - 106°) = 31° + 74° = 105°.
7. Альтернативный способ: Угол, который является вертикальным углом к углу 1, равен 31°. Пусть этот угол будет ∠4.
8. Угол, смежный с ∠2, равен 180° - 106° = 74°. Пусть этот угол будет ∠5.
9. Угол 3 = ∠4 + ∠5 (если провести дополнительную прямую через вершину угла 2, параллельную m и n).
10. ∠3 = 31° + (180° - 106°) = 31° + 74° = 105°.
11. Еще один подход: Угол, смежный с углом 2, равен 180° - 106° = 74°. Угол, который является накрест лежащим с углом 1, равен 31°. Угол 3 состоит из суммы этих двух углов, если провести вспомогательную прямую.
12. Угол, который образует линия, секущая m и n, с прямой m, и который является смежным с углом 1, равен 180° - 31° = 149°.
13. Угол, который образует линия, секущая m и n, с прямой n, и который является смежным с углом 2, равен 180° - 106° = 74°.
14. Угол 3 является внешним накрест лежащим углом к углу, равному 74° (образованному секущей и прямой n). Нет, это не так.
15. Рассмотрим угол, который находится внутри параллельных прямых и смежен с углом 2. Он равен 180° - 106° = 74°.
16. Угол 1 и угол, который является внутренним односторонним с углом 74°, в сумме дают 180°. Значит, этот угол равен 180° - 31° = 149°. Это не угол 3.
17. Вернемся к началу: Угол, который вертикален к углу 1, равен 31°. Угол, смежный с углом 2, равен 180° - 106° = 74°. Угол 3 равен сумме этих двух углов, если провести линию через вершину угла 2 параллельно m и n.
18. ∠3 = 31° + 74° = 105°.
19. Угол, смежный с ∠1, равен 180° - 31° = 149°.
20. Угол, который является накрест лежащим к ∠1, равен 31°.
21. Угол, который является внутренним односторонним с ∠1, равен 180° - 31° = 149°.
22. Рассмотрим угол, который является смежным к ∠2. Он равен 180° - 106° = 74°.
23. Угол 3 = 180° - (угол, смежный с ∠1) + (угол, смежный с ∠2) - Неверно.
24. Угол 3 = ∠1 + (180° - ∠2) = 31° + (180° - 106°) = 31° + 74° = 105°.

Ответ: 105