16. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( R \) — радиус описанной окружности. Сторона квадрата \( a \).

1. Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине его стороны: \( r = \frac{a}{2} \).
2. Из условия задачи известно, что \( r = 2\sqrt{2} \).
3. Найдём сторону квадрата: \( a = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \).
4. Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Диагональ \( d \) квадрата находится по теореме Пифагора: \( d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).
5. Подставим значение стороны квадрата: \( d = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8 \).
6. Найдём радиус описанной окружности: \( R = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Ответ: 4.