16. Прямая касается окружности в точке А. Точка О — центр окружности. Хорда АВ образует с касательной угол, равный 63°. Найдите величину угла ОВА. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В этой задаче используется свойство касательной к окружности и свойства равнобедренного треугольника.

1. Угол между касательной и хордой: Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой меры дуги, заключенной между этими линиями. Дуга, на которую опирается угол между касательной и хордой AB, — это дуга AB. Угол между касательной и хордой AB равен 63°.
2. Центральный угол: Центральный угол AOB, опирающийся на ту же дугу AB, равен удвоенному углу между касательной и хордой. Следовательно, \(\angle AOB = 2 · 63° = 126°\).
3. Равнобедренный треугольник: Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы окружности. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является хорда AB, а углами при основании — углы OAB и OBA.
4. Углы при основании: Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому, сумма углов OAB и OBA равна \(180° - · · · \angle AOB = 180° - 126° = 54°\).
5. Угол OBA: Так как \(\angle OAB = · · · · · · · · · \angle OBA\), то каждый из этих углов равен \(54° / 2 = 27°\).

Альтернативное решение:

1. Радиус перпендикулярен касательной: Радиус OA, проведенный в точку касания A, перпендикулярен касательной. Следовательно, угол между OA и касательной равен 90°.
2. Угол OAB: Угол OAB является частью этого прямого угла. Угол OAB = \(90° - 63° = 27°\).
3. Равнобедренный треугольник: Треугольник OAB — равнобедренный, так как OA = OB (радиусы).
4. Угол OBA: Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно, \(\angle OBA = · · · \angle OAB = 27°\).

Ответ: 27