16. Постройте график функции y = -4 \(\frac{x^4-x^3}{x^2-x}\) и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Упростим выражение для функции:

\( y = -4 \frac{x^4-x^3}{x^2-x} = -4 \frac{x^3(x-1)}{x(x-1)} \)

Заметим, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 1 \). Тогда:

\( y = -4x^2 \)

Таким образом, график функции — это парабола \( y = -4x^2 \) с выколотыми точками при \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

2. Найдем координаты выколотых точек:

При \( x = 0 \): \( y = -4(0)^2 = 0 \). Точка (0; 0) выколота.

При \( x = 1 \): \( y = -4(1)^2 = -4 \). Точка (1; -4) выколота.

3. Построим график функции \( y = -4x^2 \). Это парабола с ветвями, направленными вниз, вершиной в точке (0; 0).
4. Рассмотрим прямую \( y = m \). Это горизонтальная прямая.
5. Найдем значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
• Если \( m = 0 \), то прямая \( y = 0 \) проходит через вершину параболы, которая является выколотой точкой. Поэтому одна общая точка — это точка (1; -4), которая лежит на прямой \( y = 0 \) если \( m=-4 \).
• Если \( m = -4 \), то прямая \( y = -4 \) пересекает параболу в двух точках: \( x=1 \) и \( x=-1 \). Однако точка \( x=1 \) выколота. Таким образом, при \( m = -4 \) прямая \( y = -4 \) имеет ровно одну общую точку с графиком — точку \( (-1; -4) \).
• Если \( m < -4 \) или \( m > 0 \) (кроме \( m = 0 \)), прямая \( y = m \) будет иметь две общие точки с графиком.
• Если \( -4 < m < 0 \), прямая \( y = m \) будет иметь две общие точки с графиком.
6. Вывод: Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку при \( m = -4 \).

Ответ: \( m = -4 \).