Контрольные задания > 16. На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 80°. Длина меньшей дуги АВ равна 58. Найдите длину большей дуги АВ.
Вопрос:

16. На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 80°. Длина меньшей дуги АВ равна 58. Найдите длину большей дуги АВ.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Метод: Длина дуги окружности пропорциональна центральному углу, который она стягивает. Зная длину меньшей дуги и соответствующий ей угол, можно найти радиус окружности, а затем вычислить длину большей дуги.

Пошаговое решение:

  1. Центральный угол, стягивающий меньшую дугу АВ, равен \( \angle AOB = 80° \).
  2. Длина меньшей дуги АВ равна 58. Пусть \( L_{min} \) — длина меньшей дуги, а \( R \) — радиус окружности. Формула для длины дуги: \( L = \frac{\pi R \theta}{180°} \), где \( \theta \) — центральный угол в градусах.
  3. Подставим известные значения для меньшей дуги: \( 58 = \frac{\pi R \cdot 80°}{180°} \).
  4. Упростим дробь: \( 58 = \frac{4\pi R}{9} \).
  5. Выразим \( R \): \( R = \frac{58 \cdot 9}{4\pi} = \frac{29 \cdot 9}{2\pi} = \frac{261}{2\pi} \).
  6. Центральный угол, стягивающий большую дугу АВ, равен \( 360° - 80° = 280° \).
  7. Найдем длину большей дуги \( L_{max} \): \( L_{max} = \frac{\pi R \cdot 280°}{180°} \).
  8. Подставим найденное значение \( R \): \( L_{max} = \frac{\pi \cdot \frac{261}{2\pi} \cdot 280°}{180°} \).
  9. Сократим \( \pi \): \( L_{max} = \frac{\frac{261}{2} \cdot 280°}{180°} \).
  10. Упростим: \( L_{max} = \frac{261 \cdot 140°}{180°} = \frac{261 \cdot 14}{18} = \frac{261 \cdot 7}{9} \).
  11. Вычислим: \( L_{max} = 29 \cdot 7 = 203 \).

Ответ: 203

ГДЗ по фото 📸