16. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что \(\angle NBA = 48^{\circ}\). Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \(\angle NBA \) является вписанным и опирается на дугу \( NA \).

Величина дуги \( NA \) равна удвоенной величине вписанного угла, опирающегося на нее: \( \text{дуга } NA = 2 \cdot \angle NBA = 2 \cdot 48^{\circ} = 96^{\circ} \).

Угол \(\angle NMA \) также является вписанным и опирается на дугу \( NA \). Следовательно, \( \angle NMA = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } NA = \frac{1}{2} \cdot 96^{\circ} = 48^{\circ} \).

Угол \(\angle NMB \) является частью угла \(\angle NMA \).

Однако, из условия \(\angle NBA = 48^{\circ}\) и того, что \( AB \) — диаметр, следует, что \(\angle ANB \) — прямой, так как опирается на диаметр. \(\angle ANB = 90^{\circ}\).

В треугольнике \( NBA \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \). \(\angle NAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ}\).

Угол \(\angle NMB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NB \).

Угол \(\angle NAB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NB \).

Следовательно, \(\angle NMB = \angle NAB \).

\(\angle NMB = 42^{\circ}\).

Ответ: 42