16 Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Задание 16. Касательные к окружности

Дано:

• Окружность с центром в \( O \).
• Касательные в точках \( A \) и \( B \) пересекаются под углом \( 72^\circ \).

Найти: \( \angle ABO \).

Решение:

Пусть точка пересечения касательных будет \( K \). Тогда \( \angle AKB = 72^\circ \).

По свойству касательных, проведённых из одной точки:

• \( KA = KB \) (отрезки касательных равны).
• \( \angle KAO = \angle KBO = 90^\circ \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).

Рассмотрим четырёхугольник \( KAOB \). Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \).

\[ \angle AKB + \angle KAO + \angle AOB + \angle KBO = 360^\circ \] \[ 72^\circ + 90^\circ + \angle AOB + 90^\circ = 360^\circ \] \[ \angle AOB + 252^\circ = 360^\circ \] \[ \angle AOB = 360^\circ - 252^\circ = 108^\circ \]

Теперь рассмотрим треугольник \( AOB \). \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, поэтому \( OA = OB \). Следовательно, треугольник \( AOB \) — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

\[ \angle OAB = \angle OBA \]

Сумма углов в треугольнике \( AOB \) равна \( 180^\circ \):

\[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \] \[ 2 \angle OBA + 108^\circ = 180^\circ \] \[ 2 \angle OBA = 180^\circ - 108^\circ \] \[ 2 \angle OBA = 72^\circ \] \[ \angle OBA = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \]

Угол \( ABO \) — это тот же угол \( OBA \).

Ответ: 36