16. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 33 минуты раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 22 минуты после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Краткое пояснение:

• Обозначим время, затраченное мотоциклистом на весь путь из А в В, как \[ t_м \], а время, затраченное велосипедистом на весь путь из В в А, как \[ t_в \].
• Встреча произошла через 22 минуты после выезда. За это время мотоциклист проехал расстояние \[ S_{м.встречи} \] и велосипедист — \[ S_{в.встречи} \].
• Из условия, что мотоциклист приехал в В на 33 минуты раньше, чем велосипедист в А, следует: \[ t_в = t_м + 33 \] (в минутах).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определяем время, которое осталось каждому до конца пути после встречи.
• Мотоциклист после встречи доехал до В за \[ t_м - 22 \] минут.
• Велосипедист после встречи доехал до А за \[ t_в - 22 \] минут.
• Шаг 2: Используем свойство, что расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи, равно расстоянию, которое проехал велосипедист после встречи, и наоборот.
• Пусть скорость мотоциклиста \[ v_м \], а скорость велосипедиста \[ v_в \].
• Расстояние между городами S.
• \[ v_м = \frac{S}{t_м} \], \[ v_в = \frac{S}{t_в} \]
• Расстояние, пройденное мотоциклистом до встречи: \[ S_{м.встречи} = v_м \cdot 22 \]
• Расстояние, пройденное велосипедистом до встречи: \[ S_{в.встречи} = v_в \cdot 22 \]
• Расстояние, которое осталось мотоциклисту после встречи: \[ S_{м.оставшееся} = v_м \cdot (t_м - 22) \]
• Расстояние, которое осталось велосипедисту после встречи: \[ S_{в.оставшееся} = v_в \cdot (t_в - 22) \]
• Так как \[ S_{м.встречи} = S_{в.оставшееся} \] и \[ S_{в.встречи} = S_{м.оставшееся} \]:
• \[ v_м \cdot 22 = v_в \cdot (t_в - 22) \]
• \[ v_в \cdot 22 = v_м \cdot (t_м - 22) \]
• Подставим скорости:
• \[ \frac{S}{t_м} \cdot 22 = \frac{S}{t_в} \cdot (t_в - 22) \]
• \[ \frac{22}{t_м} = 1 - \frac{22}{t_в} \] (1)
• \[ \frac{S}{t_в} \cdot 22 = \frac{S}{t_м} \cdot (t_м - 22) \]
• \[ \frac{22}{t_в} = 1 - \frac{22}{t_м} \] (2)
• Из (1) и (2) видно, что \[ \frac{22}{t_м} = \frac{22}{t_в} \], что означает \[ t_м = t_в \], если бы они ехали с одинаковой скоростью. Но это не так.
• Есть более простой способ: время, которое мотоциклист потратил до встречи (22 мин), равно времени, которое велосипедист потратил после встречи. А время, которое велосипедист потратил до встречи (22 мин), равно времени, которое мотоциклист потратил после встречи.
• Время мотоциклиста до встречи = 22 мин. Время мотоциклиста после встречи = \[ t_м - 22 \].
• Время велосипедиста до встречи = 22 мин. Время велосипедиста после встречи = \[ t_в - 22 \].
• По условию: \[ t_в = t_м + 33 \]
• Время, которое осталось мотоциклисту после встречи = \[ t_м - 22 \].
• Время, которое проехал велосипедист после встречи = 22 мин.
• Расстояние, пройденное мотоциклистом до встречи = \[ v_м ∙ 22 \].
• Расстояние, которое проехал велосипедист после встречи = \[ v_в ∙ (t_в - 22) \].
• Эти расстояния равны: \[ v_м ∙ 22 = v_в ∙ (t_в - 22) \] (3)
• Время, которое проехал мотоциклист после встречи = \[ t_м - 22 \].
• Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи = \[ v_в ∙ 22 \].
• Эти расстояния равны: \[ v_м ∙ (t_м - 22) = v_в ∙ 22 \] (4)
• Разделим (3) на (4):
• \[ \frac{v_м ∙ 22}{v_м ∙ (t_м - 22)} = \frac{v_в ∙ (t_в - 22)}{v_в ∙ 22} \]
• \[ \frac{22}{t_м - 22} = \frac{t_в - 22}{22} \]
• \[ 22^2 = (t_м - 22)(t_в - 22) \]
• \[ 484 = (t_м - 22)(t_в - 22) \]
• Подставим \[ t_в = t_м + 33 \]:
• \[ 484 = (t_м - 22)(t_м + 33 - 22) \]
• \[ 484 = (t_м - 22)(t_м + 11) \]
• \[ 484 = t_м^2 + 11t_м - 22t_м - 242 \]
• \[ 484 = t_м^2 - 11t_м - 242 \]
• \[ t_м^2 - 11t_м - 242 - 484 = 0 \]
• \[ t_м^2 - 11t_м - 726 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение для \[ t_м \] с помощью дискриминанта:
• \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4(1)(-726) = 121 + 2904 = 3025 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55 \]
• \[ t_м = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 55}{2} \]
• \[ t_{м1} = \frac{11 + 55}{2} = \frac{66}{2} = 33 \]
• \[ t_{м2} = \frac{11 - 55}{2} = \frac{-44}{2} = -22 \] (Время не может быть отрицательным, отвергаем)
• Итак, время мотоциклиста \[ t_м = 33 \] минуты.
• Шаг 3: Находим время велосипедиста.
• \[ t_в = t_м + 33 = 33 + 33 = 66 \] минут.
• Шаг 4: Переводим время велосипедиста в часы.
• \[ 66 \text{ минут} = \frac{66}{60} \text{ часа} = \frac{11}{10} \text{ часа} = 1.1 \text{ часа} \]

Ответ: 1.1 часа