16. Используя рисунок 15, начертите векторы \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\). Постройте вектор их суммы \(\overrightarrow{AC}=\vec c\). а) Определите проекции этих векторов на оси \(Ox\) и \(Oy\); б) докажите, что проекция вектора суммы на координатную ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось; в) вычислите модуль вектора \(\vec c\); г) вычислите угол, образованный вектором \(\vec c\) и осью \(Ox\).

По рисунку: \(A(3;6)\), \(B(6;8)\), \(C(10;0)\).

Векторы:

• \(\vec a=\overrightarrow{AB}=(6-3;8-6)=(3;2)\);
• \(\vec b=\overrightarrow{BC}=(10-6;0-8)=(4;-8)\);
• \(\vec c=\overrightarrow{AC}=(10-3;0-6)=(7;-6)\).

Построение суммы выполняется правилом треугольника: конец \(\vec a\) совпадает с началом \(\vec b\), поэтому \(\vec a+\vec b=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=\vec c\).

Проекции:

\(a_x=3,\ a_y=2;\quad b_x=4,\ b_y=-8;\quad c_x=7,\ c_y=-6.\)

Докажем свойство проекций:

\(c_x=7=3+4=a_x+b_x\),

\(c_y=-6=2+(-8)=a_y+b_y\).

Следовательно, проекция суммы на каждую координатную ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на эту ось.

Модуль вектора \(\vec c\):

\[|\vec c|=\sqrt{7^2+(-6)^2}=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}.\]

Угол с положительным направлением оси \(Ox\):

\[\tan\alpha=\frac{c_y}{c_x}=-\frac67,\qquad \alpha\approx-40.6^\circ.\]

В пределах полного оборота это соответствует углу \(319.4^\circ\).

Ответ: \(\vec a=(3;2)\), \(\vec b=(4;-8)\), \(\vec c=(7;-6)\); \(|\vec c|=\sqrt{85}\); угол с осью \(Ox\) равен приблизительно \(-40.6^\circ\) или \(319.4^\circ\).