16. Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб?

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O. Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
2. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \), \( \text{tg} ∠BCA = \frac{BO}{OC} \).
3. Мы знаем, что \( \text{tg} ∠BCA = \frac{4}{3} \) и \( OC = 6 \). Следовательно, \( \frac{BO}{6} = \frac{4}{3} \).
4. Вычислим \( BO \): \( BO = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8 \).
5. Диагонали ромба равны \( AC = 12 \) и \( BD = 2 · BO = 2 · 8 = 16 \).
6. Радиус вписанной окружности (r) в ромб равен половине высоты ромба. Площадь ромба можно найти как полупроизведение диагоналей: \( S = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2} · 12 · 16 = 96 \).
7. Также площадь ромба равна произведению стороны на высоту: \( S = a · h \). Высота ромба \( h = 2r \).
8. Найдем длину стороны ромба (a) по теореме Пифагора в \( \triangle BOC \): \( BC^2 = BO^2 + OC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \). Следовательно, \( a = BC = √100 = 10 \).
9. Теперь найдем высоту: \( h = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9.6 \).
10. Радиус вписанной окружности равен половине высоты: \( r = \frac{h}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8 \).

Ответ: 4.8