16. 15 декабря 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 15 млн руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; - к 15 декабря 2037 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно r, если общая сумма платежей за 2029 и 2030 годы составила 8790 тыс. руб.?

Решение:

Пусть \( S \) — сумма кредита, \( N \) — срок кредита в месяцах, \( P \) — ежемесячный аннуитетный платёж, \( r \) — процентная ставка в процентах.

Сумма кредита: \( S = 15,000,000 \) руб.

Срок кредита: \( 10 \) лет = \( 10 \times 12 = 120 \) месяцев.

Условия возврата:

1. 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \( r \) процентов.
2. Со 2-го по 14-е число — оплата части долга.
3. 15-го числа каждого месяца долг уменьшается на фиксированную величину.

Обозначим уменьшение долга как \( d \). Тогда \( d = \frac{S}{120} \).

Пусть \( K_n \) — остаток долга на \( n \)-е число месяца.

На \( 15 \) декабря \( 2027 \) года сумма кредита \( S = 15,000,000 \) руб. Долг на \( 15 \) ноября \( 2027 \) года был \( S \).

Долг на \( 15 \) декабря \( 2027 \) года будет \( S - d \).

Долг на \( 15 \) января \( 2028 \) года будет \( S - 2d \).

Долг на \( 15 \) декабря \( 2028 \) года будет \( S - 12d \).

Долг на \( 15 \) декабря \( 2029 \) года будет \( S - 24d \).

Долг на \( 15 \) декабря \( 2030 \) года будет \( S - 36d \).

Платежи в 2029 году:

В каждом месяце начисляются проценты на остаток долга, а затем выплачивается часть долга \( d \).

Проценты за месяц \( n \) (с \( 1 \)-го по \( 14 \)-е число) составляют \( (S - (n-1)d) \frac{r}{100} \).

Общая сумма выплат за год равна сумме процентов за 12 месяцев плюс 12 платежей \( d \).

Долг на \( 15 \) декабря \( 2028 \) года: \( S_{2028} = S - 12d \).

Сумма процентов за январь \( 2029 \): \( (S - 12d) \frac{r}{100} \).

Сумма процентов за февраль \( 2029 \): \( (S - 13d) \frac{r}{100} \).

...

Сумма процентов за декабрь \( 2029 \): \( (S - 23d) \frac{r}{100} \).

Сумма процентов за \( 2029 \) год: \( \frac{r}{100} \times \big( (S - 12d) + (S - 13d) + \text{...} + (S - 23d) \big) \).

Это арифметическая прогрессия с \( n=12 \) членами, первым членом \( a_1 = S - 12d \) и последним \( a_{12} = S - 23d \).

Сумма процентов за \( 2029 \) год: \( \frac{r}{100} \times \frac{12}{2} \times (S - 12d + S - 23d) = 6 \frac{r}{100} (2S - 35d) \).

Общая сумма платежей за \( 2029 \) год = Сумма процентов за \( 2029 \) год + \( 12d \).

Аналогично, сумма процентов за \( 2030 \) год (долг на \( 15 \) декабря \( 2029 \) года: \( S - 24d \)):

Сумма процентов за \( 2030 \) год: \( \frac{r}{100} \times \frac{12}{2} \times ( (S - 24d) + (S - 35d) ) = 6 \frac{r}{100} (2S - 59d) \).

Общая сумма платежей за \( 2030 \) год = Сумма процентов за \( 2030 \) год + \( 12d \).

Общая сумма платежей за \( 2029 \) и \( 2030 \) годы = (Сумма процентов за \( 2029 \) год + \( 12d \)) + (Сумма процентов за \( 2030 \) год + \( 12d \)) = 8790000 \) руб.

\( 6 \frac{r}{100} (2S - 35d) + 12d + 6 \frac{r}{100} (2S - 59d) + 12d = 8790000 \)

\( 12 \frac{r}{100} (2S) - 6 \frac{r}{100} (35d + 59d) + 24d = 8790000 \)

\( \frac{24 S r}{100} - \frac{6 r}{100} (94d) + 24d = 8790000 \)

\( d = \frac{15000000}{120} = 125000 \) руб.

\( \frac{24 \times 15000000 \times r}{100} - \frac{564 r \times 125000}{100} + 24 \times 125000 = 8790000 \)

\( 3600000 r - 705000 r + 3000000 = 8790000 \)

\( 2895000 r = 5790000 \)

\( r = \frac{5790000}{2895000} = 2 \)

Ответ: r = 2.