15. |x-2| + |x - 1| - ax = 2(a - 1) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Question

15. |x-2| + |x - 1| - ax = 2(a - 1) Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Accepted Answer

Решение:

Данное уравнение можно переписать в виде:

\( |x-2| + |x-1| = ax + 2a - 1 \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = |x-2| + |x-1| \). Эта функция состоит из двух модулей, точки перехода: \( x=1 \) и \( x=2 \). Разобьем числовую ось на промежутки:

При \( x < 1 \): \( f(x) = -(x-2) - (x-1) = -x+2-x+1 = -2x+3 \)
При \( 1 \le x < 2 \): \( f(x) = -(x-2) + (x-1) = -x+2+x-1 = 1 \)
При \( x \ge 2 \): \( f(x) = (x-2) + (x-1) = x-2+x-1 = 2x-3 \)

График функции \( f(x) \) представляет собой "уголок" с "изломами" в точках \( x=1 \) и \( x=2 \). Минимум функции равен 1 и достигается при \( 1 \le x < 2 \).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: \( g(x) = ax + 2a - 1 \). Это семейство прямых, проходящих через точку \( x = -2 \) (так как \( a(-2) + 2a - 1 = -2a + 2a - 1 = -1 \)).

Уравнение \( f(x) = g(x) \) имеет единственное решение, когда прямая \( g(x) \) пересекает график \( f(x) \) в одной точке.

Рассмотрим различные случаи:

Прямая \( g(x) \) проходит через точку \( (1, 1) \) (вершина "излома" графика \( f(x) \) слева):
\( a(1) + 2a - 1 = 1 \)
\( 3a - 1 = 1 \)
\( 3a = 2 \)
\( a = \frac{2}{3} \)
При \( a = \frac{2}{3} \) прямая \( g(x) = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3} - 1 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \). Эта прямая пересекает \( f(x) \) в точках \( x=1 \) (где \( f(x)=1 \)) и еще в одной точке слева от \( x=1 \). Это дает два решения.
Прямая \( g(x) \) проходит через точку \( (2, 1) \) (вершина "излома" графика \( f(x) \) справа):
\( a(2) + 2a - 1 = 1 \)
\( 4a - 1 = 1 \)
\( 4a = 2 \)
\( a = \frac{1}{2} \)
При \( a = \frac{1}{2} \) прямая \( g(x) = \frac{1}{2}x + 1 - 1 = \frac{1}{2}x \). Эта прямая пересекает \( f(x) \) в точке \( x=2 \) (где \( f(x)=1 \)) и еще в одной точке справа от \( x=2 \). Это дает два решения.
Прямая \( g(x) \) является касательной к графику \( f(x) \) на одном из "лучей" графика.
Случай 1: касательная к лучу \( y = -2x+3 \) при \( x < 1 \).
Наклон прямой \( g(x) \) равен \( a \). Наклон луча \( f(x) \) равен \( -2 \).
\( a = -2 \).
Подставим \( a = -2 \) в уравнение прямой \( g(x) \): \( y = -2x + 2(-2) - 1 = -2x - 5 \).
Найдем точки пересечения: \( -2x+3 = -2x-5 \) → \( 3 = -5 \) (нет решений). Это означает, что прямая \( a=-2 \) параллельна левому лучу \( f(x) \) и не пересекает его.
Случай 2: касательная к лучу \( y = 2x-3 \) при \( x \ge 2 \).
Наклон прямой \( g(x) \) равен \( a \). Наклон луча \( f(x) \) равен \( 2 \).
\( a = 2 \).
Подставим \( a = 2 \) в уравнение прямой \( g(x) \): \( y = 2x + 2(2) - 1 = 2x + 3 \).
Найдем точки пересечения: \( 2x-3 = 2x+3 \) → \( -3 = 3 \) (нет решений). Это означает, что прямая \( a=2 \) параллельна правому лучу \( f(x) \) и не пересекает его.
Единственное решение будет, когда прямая \( g(x) \) проходит через вершину "излома" и является одной из "боковых" прямых, при этом другая "боковая" прямая не пересекает график \( f(x) \) или пересекает его в одной точке.
Рассмотрим случай, когда прямая \( g(x) \) проходит через точку \( (1,1) \) и имеет наклон \( a=2 \).
\( a=2 \) → \( g(x) = 2x + 3 \). Это прямая, параллельная правому лучу \( f(x) \), поэтому она не пересечет график.
При \( a=2 \), прямая \( g(x) = 2x + 3 \). Она пересекает график \( f(x) \) только при \( x=1 \).
Случай, когда прямая проходит через точку \( (1,1) \) и \( a=2 \).
\( a = 2 \)
\( g(x) = 2x + 2(2) - 1 = 2x + 3 \). Эта прямая параллельна правой части графика \( f(x) \) \( y=2x-3 \) и не пересекает его. Она пересечет левую часть \( y=-2x+3 \) только в одной точке.
Случай, когда прямая проходит через точку \( (2,1) \) и \( a=-2 \).
\( a = -2 \)
\( g(x) = -2x + 2(-2) - 1 = -2x - 5 \). Эта прямая параллельна левой части графика \( f(x) \) \( y=-2x+3 \) и не пересекает его. Она пересечет правую часть \( y=2x-3 \) только в одной точке.
Анализ вариантов ответа:
1. \( a = \frac{2}{3} \): \( g(x) = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \). Пересекает \( f(x) \) в \( x=1 \) и еще одну точку слева. Два решения.
2. \( a = \frac{1}{2} \): \( g(x) = \frac{1}{2}x \). Пересекает \( f(x) \) в \( x=2 \) и еще одну точку справа. Два решения.
3. \( a = 2 \): \( g(x) = 2x+3 \). Эта прямая пересекает \( f(x) \) только в точке \( x=1 \). Только одно решение.
4. \( a = -2 \): \( g(x) = -2x-5 \). Эта прямая пересекает \( f(x) \) только в точке \( x=2 \). Только одно решение.
5. \( a = 0.75 = \frac{3}{4} \): \( g(x) = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \). Прямая проходит через \( (-2, -1) \).
\( \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = -2x + 3 \) → \( \frac{11}{4}x = \frac{5}{2} \) → \( x = \frac{10}{11} \). Это \( < 1 \).
\( \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = 1 \) → \( \frac{3}{4}x = \frac{1}{2} \) → \( x = \frac{2}{3} \). Это \( < 1 \).
\( \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} = 2x - 3 \) → \( \frac{5}{2} = \frac{5}{4}x \) → \( x = 2 \).
При \( a=0.75 \) получаем 3 решения: \( x = \frac{10}{11}, x = \frac{2}{3}, x = 2 \).
6. \( a \in (-\infty, -2) \) или \( a \in (2, \infty) \).
Если \( a < -2 \), то прямая \( g(x) \) будет наклонена вниз сильнее, чем левый луч \( f(x) \). Она пересечет \( f(x) \) в одной точке слева.
Если \( a > 2 \), то прямая \( g(x) \) будет наклонена вверх сильнее, чем правый луч \( f(x) \). Она пересечет \( f(x) \) в одной точке справа.
7. \( a \in (-2, 2) \).
Если \( a \in (-2, 1/2) \), то два решения.
Если \( a \in (1/2, 2/3) \), то три решения.
Если \( a \in (2/3, 2) \), то два решения.
7. \( a=0.75 \).
\( a = 0.75 = \frac{3}{4} \).
\( g(x) = \frac{3}{4}x + 2(\frac{3}{4}) - 1 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \).
Пересечения:
\( -2x+3 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \) \( \rightarrow 3 - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x + 2x \) \( \rightarrow \frac{5}{2} = \frac{11}{4}x \) \( \rightarrow x = \frac{10}{11} \) (одно решение)
\( 1 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \) \( \rightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x \) \( \rightarrow x = \frac{2}{3} \) (одно решение)
\( 2x-3 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \) \( \rightarrow 2x - \frac{3}{4}x = \frac{1}{2} + 3 \) \( \rightarrow \frac{5}{4}x = \frac{7}{2} \) \( \rightarrow x = \frac{14}{5} \) (одно решение)
При \( a=0.75 \) три решения.
Рассмотрим случай, когда прямая \( g(x) \) проходит через точку \( (-2, -1) \) и является касательной к одному из лучей.
Если \( a=-2 \), то \( g(x) = -2x - 5 \). Этот луч параллелен левому лучу \( f(x) \) и не пересекает его. Он пересекает правую часть \( f(x) \) только в точке \( x=2 \). Таким образом, одно решение.
Если \( a=2 \), то \( g(x) = 2x + 3 \). Этот луч параллелен правому лучу \( f(x) \) и не пересекает его. Он пересекает левую часть \( f(x) \) только в точке \( x=1 \). Таким образом, одно решение.
Вывод: единственное решение достигается при \( a=2 \) и \( a=-2 \).

Ответ: \( a=2 \) или \( a=-2 \).