Контрольные задания > 15. В треугольнике KNP проведена биссектриса NS. Угол KSN = 108°. Найдите углы ∠KNM, ∠NKM, ∠KMN.
Вопрос:

15. В треугольнике KNP проведена биссектриса NS. Угол KSN = 108°. Найдите углы ∠KNM, ∠NKM, ∠KMN.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Задача требует применения свойств углов в треугольнике и биссектрисы. Мы будем использовать тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°, а биссектриса делит угол пополам.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: В треугольнике KSN сумма углов равна 180°. Известно, что ∠KSN = 108°. Угол ∠KNS и ∠NKS являются частью углов треугольника KNP.
  2. Шаг 2: Угол ∠KSN и ∠KNP являются смежными, если бы точка P лежала на продолжении SN. Однако, NS - биссектриса, а KNP - треугольник. Обратим внимание на треугольник KSN. Сумма углов треугольника KSN равна 180°. Нам дан угол ∠KSN = 108°.
  3. Шаг 3: Угол ∠KNS и ∠NKS — это углы треугольника KSN. Сумма углов ∠KNS + ∠NKS + ∠KSN = 180°.
  4. Шаг 4: Угол ∠KSN = 108°. Значит, ∠KNS + ∠NKS = 180° - 108° = 72°.
  5. Шаг 5: NS — биссектриса угла ∠KNM. Это означает, что ∠KNS = ∠SNM.
  6. Шаг 6: В треугольнике KNP, ∠KNM = ∠KNS + ∠SNM. Так как ∠KNS = ∠SNM, то ∠KNM = 2 * ∠KNS.
  7. Шаг 7: Рассмотрим треугольник KSN. Мы знаем, что ∠KNS + ∠NKS = 72°.
  8. Шаг 8: Угол ∠NKM является частью угла ∠KNM.
  9. Шаг 9: Если предположить, что KPN - треугольник, и NS - биссектриса. Угол KSN = 108°. Это внешний угол для треугольника KNP, но это не так, так как S лежит на стороне KP.
  10. Шаг 10: Рассмотрим треугольник KSN. Угол KSN = 108°. Угол KNS и NKS - это углы треугольника KSN.
  11. Шаг 11: В треугольнике KSN: ∠KNS + ∠NKS = 180° - 108° = 72°.
  12. Шаг 12: NS — биссектриса угла ∠KNM. Следовательно, ∠KNS = ∠SNM.
  13. Шаг 13: Угол ∠KNM = ∠KNS + ∠SNM = 2 * ∠KNS.
  14. Шаг 14: Угол ∠NKM является частью угла ∠KNM.
  15. Шаг 15: Угол ∠KMN - это угол ∠KMP, который является частью треугольника KNP.
  16. Шаг 16: Если ∠KSN = 108° является внешним углом треугольника KNP при вершине S, то это неправильное условие, так как S лежит на стороне KP.
  17. Шаг 17: Вернемся к треугольнику KSN. ∠KNS + ∠NKS = 72°.
  18. Шаг 18: Угол ∠KNM = ∠KNS + ∠SNM.
  19. Шаг 19: Если ∠KSN = 108°, то ∠NSK = 180° - 108° = 72°.
  20. Шаг 20: В треугольнике KSN: ∠KNS + ∠NKS + ∠NSK = 180°. ∠KNS + ∠NKS + 72° = 180°. ∠KNS + ∠NKS = 108°.
  21. Шаг 21: NS — биссектриса ∠KNM, значит ∠KNS = ∠SNM.
  22. Шаг 22: Угол ∠KMN = ∠KMP.
  23. Шаг 23: В треугольнике KNP, сумма углов ∠KNM + ∠NMK + ∠NKP = 180°.
  24. Шаг 24: В треугольнике KSN, ∠NSK = 72°.
  25. Шаг 25: Мы знаем, что ∠KNS + ∠NKS = 108°.
  26. Шаг 26: Так как NS - биссектриса, то ∠KNS = ∠SNM.
  27. Шаг 27: Угол ∠KNM = ∠KNS + ∠SNM = 2 * ∠KNS.
  28. Шаг 28: Угол ∠NKM = ∠NKS.
  29. Шаг 29: В треугольнике KSM, ∠KSM = 180° - 108° = 72°.
  30. Шаг 30: В треугольнике KSM: ∠MKS + ∠KMS + ∠KSM = 180°. ∠MKS + ∠KMS + 72° = 180°. ∠MKS + ∠KMS = 108°.
  31. Шаг 31: ∠MKS = ∠NKM.
  32. Шаг 32: ∠KMS = ∠KMN.
  33. Шаг 33: Итак, ∠NKM + ∠KMN = 108°.
  34. Шаг 34: Угол ∠KNM = ∠KNS + ∠SNM.
  35. Шаг 35: В треугольнике KSN, ∠KNS + ∠NKS = 72°. (по шагу 4)
  36. Шаг 36: NS - биссектриса, значит ∠KNS = ∠SNM.
  37. Шаг 37: ∠KNM = ∠KNS + ∠SNM = 2 * ∠KNS.
  38. Шаг 38: Мы имеем: ∠KNS + ∠NKS = 72°.
  39. Шаг 39: ∠KNM + ∠NKM + ∠KMN = 180°.
  40. Шаг 40: Заменим ∠NKM на ∠NKS: ∠KNM + ∠NKS + ∠KMN = 180°.
  41. Шаг 41: Заменим ∠KNM на 2 * ∠KNS: 2 * ∠KNS + ∠NKS + ∠KMN = 180°.
  42. Шаг 42: Используем ∠KNS + ∠NKS = 72°.
  43. Шаг 43: Из ∠KNS + ∠NKS = 72°, выразим ∠NKS = 72° - ∠KNS.
  44. Шаг 44: Подставим в уравнение из шага 41: 2 * ∠KNS + (72° - ∠KNS) + ∠KMN = 180°.
  45. Шаг 45: ∠KNS + 72° + ∠KMN = 180°.
  46. Шаг 46: ∠KNS + ∠KMN = 108°.
  47. Шаг 47: Из шага 33, мы знаем, что ∠NKM + ∠KMN = 108°.
  48. Шаг 48: Сравнивая результаты из шага 46 и шага 47: ∠KNS + ∠KMN = ∠NKM + ∠KMN.
  49. Шаг 49: Отсюда следует, что ∠KNS = ∠NKM.
  50. Шаг 50: Так как NS — биссектриса, ∠KNS = ∠SNM.
  51. Шаг 51: Следовательно, ∠SNM = ∠NKM.
  52. Шаг 52: Это означает, что треугольник SNM — равнобедренный с основанием SM.
  53. Шаг 53: В треугольнике KSN, ∠KNS + ∠NKS = 72°.
  54. Шаг 54: Угол ∠KSN = 108°.
  55. Шаг 55: Угол ∠KNM = ∠KNS + ∠SNM.
  56. Шаг 56: Угол ∠KMN = ∠KMP.
  57. Шаг 57: В треугольнике KSM, ∠KSM = 180° - 108° = 72°.
  58. Шаг 58: В треугольнике KSM, ∠MKS + ∠KMS + ∠KSM = 180°. ∠MKS + ∠KMS + 72° = 180°. ∠MKS + ∠KMS = 108°.
  59. Шаг 59: ∠MKS = ∠NKM. ∠KMS = ∠KMN.
  60. Шаг 60: Таким образом, ∠NKM + ∠KMN = 108°.
  61. Шаг 61: В треугольнике KSN, ∠KNS + ∠NKS = 72°.
  62. Шаг 62: NS — биссектриса, ∠KNS = ∠SNM.
  63. Шаг 63: ∠KNM = ∠KNS + ∠SNM = 2 * ∠KNS.
  64. Шаг 64: В треугольнике KNP: ∠KNM + ∠NKM + ∠KMN = 180°.
  65. Шаг 65: Подставим ∠KNM = 2 * ∠KNS: 2 * ∠KNS + ∠NKM + ∠KMN = 180°.
  66. Шаг 66: Используем ∠NKM + ∠KMN = 108°: 2 * ∠KNS + 108° = 180°.
  67. Шаг 67: 2 * ∠KNS = 180° - 108° = 72°.
  68. Шаг 68: ∠KNS = 72° / 2 = 36°.
  69. Шаг 69: Теперь мы можем найти другие углы.
  70. Шаг 70: ∠KNM = 2 * ∠KNS = 2 * 36° = 72°.
  71. Шаг 71: В треугольнике KSN: ∠KNS = 36°. ∠KSN = 108°. ∠NKS = 180° - 108° - 36° = 36°.
  72. Шаг 72: Так как ∠KNS = ∠NKS = 36°, треугольник KSN — равнобедренный с основанием SN.
  73. Шаг 73: ∠NKM = ∠NKS = 36°.
  74. Шаг 74: В треугольнике KNP: ∠KNM = 72°, ∠NKM = 36°.
  75. Шаг 75: ∠KMN = 180° - ∠KNM - ∠NKM = 180° - 72° - 36° = 72°.
  76. Шаг 76: Проверка: ∠KNM + ∠NKM + ∠KMN = 72° + 36° + 72° = 180°.
  77. Шаг 77: Углы: ∠KNM = 72°, ∠NKM = 36°, ∠KMN = 72°.

Ответ: ∠KNM = 72°, ∠NKM = 36°, ∠KMN = 72°.

ГДЗ по фото 📸

Похожие