15. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если C=65°, BM=AM=MC.

Решение:

1. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. По условию \( BM = AM = MC \). Это значит, что точка М является центром описанной около треугольника АВС окружности, а стороны АВ, ВС и АС являются хордами этой окружности.

2. Так как \( BM = MC \), то треугольник ВМС — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle MBC = \angle MCB \). По условию \( \angle C = 65^{\circ} \), значит, \( \angle MBC = 65^{\circ} \).

3. Угол В треугольника АВС равен сумме углов \( \angle ABM \) и \( \angle MBC \).

4. Так как \( AM = BM \), то треугольник АВМ — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BAM = \angle ABM \).

5. Угол \( \angle B = \angle ABM + \angle MBC \).

6. Угол \( \angle BMC \) — внешний угол треугольника АВМ. Значит, \( \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM \). Так как \( \angle BAM = \angle ABM \), то \( \angle BMC = 2 \angle ABM \).

7. Сумма углов в треугольнике АВС равна 180°: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

8. Подставим известные значения и выражения:

\( \angle A = \angle BAM \)

\( \angle B = \angle ABM + \angle MBC = \angle BAM + 65^{\circ} \)

\( \angle C = 65^{\circ} \)

\( \angle BAM + (\angle BAM + 65^{\circ}) + 65^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle BAM + 130^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle BAM = 180^{\circ} - 130^{\circ} \)

\( 2 \angle BAM = 50^{\circ} \)

\( \angle BAM = 25^{\circ} \)

9. Следовательно, \( \angle A = 25^{\circ} \).

Ответ: 25°.