15. В прямоугольном треугольнике ACB (ZC = 90°) проведена высота CD. Гипотенуза АВ равна 8 см, ∠СВА = 30°. Найдите BD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \). Проведена высота CD. Известно, что гипотенуза \( AB = 8 \text{ см} \) и \( \angle CBA = 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. В нем \( \angle CDB = 90^{\circ} \) (так как CD — высота).

В этом треугольнике мы знаем гипотенузу CB и угол \( \angle CBA = 30^{\circ} \).

Чтобы найти BD, нам сначала нужно найти длину катета CB в большом треугольнике ABC. В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \cos(\angle CBA) = \frac{CB}{AB} \)

\( CB = AB \cdot \cos(\angle CBA) \)

\( CB = 8 \text{ см} \cdot \cos(30^{\circ}) \)

\( CB = 8 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( CB = 4\sqrt{3} \text{ см} \)

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику CBD. Мы хотим найти BD, который является прилежащим катетом к углу \( \angle CBA = 30^{\circ} \), а CB — это гипотенуза.

\( \cos(\angle CBA) = \frac{BD}{CB} \)

\( BD = CB \cdot \cos(\angle CBA) \)

\( BD = 4\sqrt{3} \text{ см} \cdot \cos(30^{\circ}) \)

\( BD = 4\sqrt{3} \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( BD = 4 \cdot \frac{3}{2} \text{ см} \)

\( BD = 6 \text{ см} \)

Ответ: BD = 6 см.