15. Точки М и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна 10. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Так как M и N — середины сторон AB и BC соответственно, то отрезок MN является средней линией треугольника ABC. Средняя линия параллельна основанию BC и равна его половине.

Треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними (угол B общий, BM = 1/2 AB, BN = 1/2 BC). Коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 \]

\[ \frac{S_{MBN}}{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

\[ \frac{S_{MBN}}{10} = \frac{1}{4} \]

\[ S_{MBN} = \frac{10}{4} = 2,5 \]

Ответ: 2,5