15. Тип 15 № 341524. В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Отрезок DE является средней линией треугольника ABC. Это означает, что DE параллельна стороне AC и равна ее половине ($$DE = \frac{1}{2} AC$$).

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB. Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон. Так как DE — средняя линия, то $$CD = \frac{1}{2} CB$$ и $$CE = \frac{1}{2} CA$$. Следовательно, коэффициент подобия $$k = \frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 $$

где $$S_{CDE}$$ — площадь треугольника CDE, а $$S_{CAB}$$ — площадь треугольника ABC.

Подставляем известные значения:

$$ \frac{97}{S_{CAB}} = \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2 $$

$$ \frac{97}{S_{CAB}} = \frac{1}{4} $$

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

$$ S_{CAB} = 97 \times 4 $$

$$ S_{CAB} = 388 $$

Ответ: 388