15. Неравенство. Решите неравенство методом интервалов: \(\frac{x^2-9}{x-2} \le 0\)

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{x^2-9}{x-2} \le 0\) методом интервалов, найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:

\( x^2 - 9 = 0 \)
\( x^2 = 9 \)
\( x = \pm 3 \)

2. Корень знаменателя:

\( x - 2 = 0 \)
\( x = 2 \)

Отметим эти точки на числовой оси: -3, 2, 3. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка 2 — выколотая.

Разделим числовую ось на интервалы и определим знак выражения \(\frac{x^2-9}{x-2}\) в каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty; -3] \): Возьмём \( x = -4 \). \(\frac{(-4)^2 - 9}{-4 - 2} = \frac{16-9}{-6} = \frac{7}{-6} < 0 \).
• Интервал \( [-3; 2) \): Возьмём \( x = 0 \). \(\frac{0^2 - 9}{0 - 2} = \frac{-9}{-2} = 4.5 > 0 \).
• Интервал \( (2; 3] \): Возьмём \( x = 2.5 \). \(\frac{(2.5)^2 - 9}{2.5 - 2} = \frac{6.25 - 9}{0.5} = \frac{-2.75}{0.5} < 0 \).
• Интервал \( [3; \infty) \): Возьмём \( x = 4 \). \(\frac{4^2 - 9}{4 - 2} = \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} > 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было \(\le 0 \). Это выполняется на интервалах \( (-\infty; -3] \) и \( (2; 3] \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -3] \cup (2; 3] \)