15. На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого AB = 24 и AD = 31, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

Решение:

В прямоугольнике ABCD сторона BC равна AD, то есть BC = 31. Сторона AB = 24.

1. Рассмотрим треугольник ABE:

   • Угол ABE равен 90° (так как это угол прямоугольника).
   • Угол EAB = 45° (по условию).
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, угол AEB = 180° - 90° - 45° = 45°.
   • Так как углы AEB и EAB равны, треугольник ABE является равнобедренным. Следовательно, стороны, лежащие напротив этих углов, равны: BE = AB = 24.

2. Найдем длину отрезка EC:

   • EC = BC - BE = 31 - 24 = 7.

3. Рассмотрим треугольник EDC:

   • Угол ECD равен 90° (так как это угол прямоугольника).
   • Это прямоугольный треугольник. Для нахождения ED (гипотенузы) используем теорему Пифагора: ED² = EC² + CD².
   • CD = AB = 24.
   • \[ ED^2 = 7^2 + 24^2 \]
   • \[ ED^2 = 49 + 576 \]
   • \[ ED^2 = 625 \]
   • \[ ED = \sqrt{625} \]
   • \[ ED = 25 \]

Ответ: 25