15. Логарифмические уравнения Решите уравнения (171 171. a) log²₃ x = 4 - 3 log₃ x;

Решение:

Для решения уравнения \( \log_3^2 x = 4 - 3 \log_3 x \), сначала сделаем замену переменной. Пусть \( y = \log_3 x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 = 4 - 3y \]

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

\[ y^2 + 3y - 4 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) обратно в замену \( y = \log_3 x \):

1. \( \log_3 x = 1 \)

Из определения логарифма следует:

\[ x = 3^1 \]

\[ x = 3 \]

2. \( \log_3 x = -4 \)

Из определения логарифма следует:

\[ x = 3^{-4} \]

\[ x = \frac{1}{3^4} \]

\[ x = \frac{1}{81} \]

Проверка условий существования логарифма: \( x > 0 \). Оба найденных значения \( x=3 \) и \( x=\frac{1}{81} \) положительны.

Ответ: \( x=3 \), \( x=\frac{1}{81} \).