15. Дано: \( \angle 1 = 30^{\circ}, \angle 4 = 110^{\circ} \). Найти: \( \angle 2, \angle 3 \).

Решение:

\( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

\( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — накрест лежащие углы при секущей. Если бы прямые были параллельны, то \( \angle 1 = \angle 3 \). Но \( 30^{\circ} \neq 110^{\circ} \), следовательно, прямые не параллельны.

\( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) — внутренние односторонние углы. Если бы прямые были параллельны, то их сумма была бы \( 180^{\circ} \). \( 110^{\circ} + \text{уг.3} = 180^{\circ} \) ⇒ \( \text{уг.3} = 70^{\circ} \). Но \( 30^{\circ} \neq 70^{\circ} \), что подтверждает, что прямые не параллельны.

\( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — соответственные углы. Если бы прямые были параллельны, то \( \angle 2 = \angle 3 \). \( 150^{\circ} \neq 70^{\circ} \).

Так как \( \angle 1 = 30^{\circ} \) и \( \angle 4 = 110^{\circ} \), мы можем найти \( \angle 3 \) как внутренний накрест лежащий с \( \angle 1 \) при условии параллельности. Но поскольку \( 30^{\circ} \neq 110^{\circ} \) (и \( 30^{\circ} \neq 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ} \)), то прямые не параллельны.

\( \angle 3 \) — внешний накрест лежащий с \( \angle 1 \). \( \angle 3 = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

\( \angle 2 = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

Ответ: \( \angle 2 = 150^{\circ}, \angle 3 = 70^{\circ} \).