15. AB, ∠B - ?

Решение:

В треугольнике ABC, угол C равен 90 градусов. Угол A равен 45 градусов. Следовательно, угол B равен \( 180 - 90 - 45 = 45 \) градусов.

Так как углы A и B равны, треугольник ABC является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, AC = BC.

В прямоугольном треугольнике ABC, CD является высотой, опущенной на гипотенузу AB. В прямоугольном треугольнике, высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на два отрезка. Также, в прямоугольном треугольнике, высота, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы, если она проведена из вершины прямого угла. Однако, в данном случае, CD является катетом, а не гипотенузой.

В треугольнике ACD, угол CAD = 45 градусов, угол ADC = 90 градусов. Следовательно, угол ACD = \( 180 - 90 - 45 = 45 \) градусов.

Так как углы CAD и ACD равны, треугольник ACD является равнобедренным. Следовательно, AC = CD.

По условию, CD = 12. Так как AC = CD, то AC = 12.

Так как треугольник ABC является равнобедренным и AC = 12, то BC = 12.

По теореме Пифагора в треугольнике ABC:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( AB^2 = 12^2 + 12^2 \)

\( AB^2 = 144 + 144 \)

\( AB^2 = 288 \)

\( AB = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2} \)

Угол B = 45 градусов.

Ответ: AB = \( 12\sqrt{2} \), ∠B = 45°.