14. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 18 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где последовательные расстояния, пройденные автомобилем за каждую секунду торможения, составляют члены прогрессии.

1. Первый член прогрессии (расстояние, пройденное за первую секунду) \( a_1 = 18 \) м.
2. Разность прогрессии \( d = -3 \) м (так как за каждую следующую секунду автомобиль проезжал на 3 м меньше).
3. Нужно найти общее расстояние, пройденное до полной остановки, то есть сумму членов прогрессии, когда очередной член станет меньше или равен нулю.
4. Найдём, через сколько секунд автомобиль остановится. Расстояние, пройденное за \( n \)-ю секунду, равно \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Автомобиль остановится, когда \( a_n \le 0 \).
5. \( 18 + (n-1)(-3) \le 0 \)
6. \( 18 - 3n + 3 \le 0 \)
7. \( 21 - 3n \le 0 \)
8. \( 21 \le 3n \)
9. \( n \ge 7 \)
10. Значит, автомобиль остановится после 7 секунд.
11. Теперь найдём сумму расстояний, пройденных за эти 7 секунд. Формула суммы \( n \) членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).
12. Сначала найдём расстояние, пройденное за 7-ю секунду: \( a_7 = 18 + (7-1)(-3) = 18 + 6(-3) = 18 - 18 = 0 \) м.
13. Теперь найдём сумму: \( S_7 = \frac{18 + 0}{2} \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63 \) м.

Ответ: 63 м.