Контрольные задания
Вопрос:

14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 длина ребра основания равна 6, а длина бокового ребра равна 3. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью а, проходящей через середину ребра АВ перпендикулярно отрезку, соединяющему середины рёбер ВС и А1В1, делит ребро АС в отношении 1:3, считая от вершины А. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью а.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение:

Дано:

Правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

Ребро основания \( a = 6 \).

Боковое ребро \( h = 3 \).

Плоскость \( \alpha \) проходит через середину ребра AB перпендикулярно отрезку, соединяющему середины ребер BC и A1B1.

а) Доказательство:

  1. Обозначим середину ребра AB как M, середину ребра BC как N, середину ребра A1B1 как K, середину ребра B1C1 как L.
  2. В правильной треугольной призме основание — равносторонний треугольник.
  3. Рассмотрим основание ABC. AB = BC = AC = 6.
  4. AN — медиана и высота равностороннего треугольника ABC, \( AN = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \).
  5. MN — средняя линия треугольника ABC, \( MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \). MN параллельна AC.
  6. Рассмотрим верхнее основание A1B1C1. A1B1 = B1C1 = A1C1 = 6.
  7. A1K — медиана и высота равностороннего треугольника A1B1C1, \( A1K = \frac{\sqrt{3}}{2} a = 3\sqrt{3} \).
  8. A1B1 = 6.
  9. K — середина A1B1, B1 — вершина, \( A1K = 3\sqrt{3} \).
  10. NK — отрезок, соединяющий середины рёбер BC и A1B1.
  11. Вектор \( \vec{NK} = \vec{NB} + \vec{BA} + \vec{AK} \).
  12. Так как плоскость \( \alpha \) перпендикулярна отрезку NK, то нормаль к плоскости \( \alpha \) параллельна NK.
  13. Пусть плоскость \( \alpha \) пересекает ребро AC в точке P и ребро A1C1 в точке Q.
  14. Из подобия треугольников MNP и ACQ следует, что MP параллельна AN.
  15. Так как M — середина AB, то MP || AC.
  16. Рассмотрим сечение призмы плоскостью \( \alpha \).
  17. Плоскость \( \alpha \) проходит через M (середина AB) и перпендикулярна NK.
  18. Так как MN || AC, то плоскость \( \alpha \) параллельна MN.
  19. Построим вектор \( \vec{NK} \). \( \vec{NK} = \vec{NM} + \vec{MA} + \vec{AK} \). \( \vec{NM} \) — вектор из середины BC в середину AB, это вектор, параллельный AC. \( \vec{AK} \) — вектор из середины A1B1 в A1.
  20. Рассмотрим векторы в системе координат. Пусть A = (0, 0, 0), B = (6, 0, 0), C = \(3, 3\sqrt{3}, 0\).
  21. A1 = (0, 0, 3), B1 = (6, 0, 3), C1 = \(3, 3\sqrt{3}, 3\).
  22. M (середина AB) = (3, 0, 0).
  23. N (середина BC) = \(\frac{6+3}{2}, \frac{0+3\sqrt{3}}{2}, 0\) = \(4.5, 1.5\sqrt{3}, 0\).
  24. K (середина A1B1) = \(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{3+3}{2}\) = (3, 0, 3).
  25. Вектор \( \vec{NK} = K - N = (3 - 4.5, 0 - 1.5\sqrt{3}, 3 - 0) = (-1.5, -1.5\sqrt{3}, 3) \).
  26. Плоскость \( \alpha \) проходит через M(3, 0, 0) и имеет нормаль \( \vec{n} = \vec{NK} = (-1.5, -1.5\sqrt{3}, 3) \).
  27. Уравнение плоскости \( \alpha \): \( -1.5(x - 3) - 1.5\sqrt{3}(y - 0) + 3(z - 0) = 0 \).
  28. \( -1.5x + 4.5 - 1.5\sqrt{3}y + 3z = 0 \).
  29. \( 1.5x + 1.5\sqrt{3}y - 3z = 4.5 \).
  30. \( x + \sqrt{3}y - 2z = 3 \).
  31. Ребро AC лежит на прямой, проходящей через A(0, 0, 0) и C\(3, 3\sqrt{3}, 0\). Уравнение прямой AC: \( x = 3t, y = 3\sqrt{3}t, z = 0 \).
  32. Точка P — пересечение плоскости \( \alpha \) и ребра AC. Подставим координаты прямой AC в уравнение плоскости \( \alpha \):
  33. \( 3t + \sqrt{3}(3\sqrt{3}t) - 2(0) = 3 \).
  34. \( 3t + 9t = 3 \).
  35. \( 12t = 3 \).
  36. \( t = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).
  37. Координаты точки P: \( x_P = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \), \( y_P = 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \), \( z_P = 0 \).
  38. P = \(\frac{3}{4}, \frac{3\sqrt{3}}{4}, 0\).
  39. Точка P делит ребро AC. Длина AC = 6.
  40. Расстояние AP = \( \sqrt{(\frac{3}{4}-0)^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{4}-0)^2 + (0-0)^2} \) = \( \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{27}{16}} \) = \( \sqrt{\frac{36}{16}} \) = \( \sqrt{\frac{9}{4}} \) = \( \frac{3}{2} \).
  41. AP = 1.5.
  42. PC = AC - AP = 6 - 1.5 = 4.5.
  43. Отношение AP : PC = 1.5 : 4.5 = 1 : 3.
  44. Таким образом, сечение делит ребро AC в отношении 1:3, считая от вершины А. Доказано.

б) Нахождение площади сечения призмы плоскостью а:

  1. Сечение призмы плоскостью \( \alpha \) — это многоугольник.
  2. Мы нашли две точки пересечения плоскости с боковыми рёбрами: P на AC и Q на A1C1.
  3. Так как плоскость \( \alpha \) параллельна плоскости основания, то сечение будет параллелограммом.
  4. Найдем точку Q на A1C1. Уравнение прямой A1C1: \( x = 3t, y = 3\sqrt{3}t, z = 3 \) (или \( x = 0 + 3t, y = 0 + 3\sqrt{3}t, z = 3 \) при начале от A1(0,0,3)).
  5. Подставим координаты прямой A1C1 в уравнение плоскости \( \alpha \) \( x + \sqrt{3}y - 2z = 3 \):
  6. \( 3t + \sqrt{3}(3\sqrt{3}t) - 2(3) = 3 \).
  7. \( 3t + 9t - 6 = 3 \).
  8. \( 12t = 9 \).
  9. \( t = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).
  10. Координаты точки Q: \( x_Q = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \), \( y_Q = 3\sqrt{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \), \( z_Q = 3 \).
  11. Q = \(\frac{9}{4}, \frac{9\sqrt{3}}{4}, 3\).
  12. Длина A1Q = \( \sqrt{(\frac{9}{4}-0)^2 + (\frac{9\sqrt{3}}{4}-0)^2 + (3-3)^2} \) = \( \sqrt{\frac{81}{16} + \frac{243}{16}} \) = \( \sqrt{\frac{324}{16}} \) = \( \sqrt{\frac{81}{4}} \) = \( \frac{9}{2} = 4.5 \).
  13. PC = 4.5.
  14. A1Q = 4.5.
  15. MQ — отрезок, соединяющий середину AB (M) и точку Q на A1C1. M=(3,0,0), Q=\(\frac{9}{4}, \frac{9\sqrt{3}}{4}, 3\).
  16. MQ — это средняя линия параллелограмма MPQQ1 (где Q1 — точка на B1C1).
  17. PQ — это отрезок, соединяющий точки на AC и A1C1. PQ параллельна AA1 и CC1, т.е. PQ параллельна оси Z. PQ = 3.
  18. MP = 1.5.
  19. Сечение — параллелограмм MPQ K1, где K1 — точка на A1B1.
  20. MP = 1.5.
  21. PQ = 3.
  22. Рассмотрим середину ребра AB M. Плоскость \( \alpha \) проходит через M.
  23. Проверим, проходит ли плоскость через середину ребра B1C1 (L). L = \(\frac{6+3}{2}, \frac{0+3\sqrt{3}}{2}, 3\) = \(4.5, 1.5\sqrt{3}, 3\).
  24. Подставим координаты L в уравнение плоскости \( x + \sqrt{3}y - 2z = 3 \):
  25. \( 4.5 + \sqrt{3}(1.5\sqrt{3}) - 2(3) = 4.5 + 4.5 - 6 = 9 - 6 = 3 \).
  26. Значит, плоскость \( \alpha \) проходит через середину ребра AB (M) и середину ребра B1C1 (L).
  27. Следовательно, сечение — это параллелограмм MLPQ.
  28. ML — средняя линия грани BB1C1C. ML || BC. ML = \( \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \).
  29. LP — отрезок, соединяющий середину B1C1 (L) и точку P на AC.
  30. MP = 1.5.
  31. LP = \( \sqrt{(4.5 - \frac{3}{4})^2 + (1.5\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{4})^2 + (3-0)^2} \) = \( \sqrt{(\frac{18-3}{4})^2 + (\frac{6\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{4})^2 + 9} \) = \( \sqrt{(\frac{15}{4})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{4})^2 + 9} \) = \( \sqrt{\frac{225}{16} + \frac{27}{16} + 9} \) = \( \sqrt{\frac{252}{16} + \frac{144}{16}} \) = \( \sqrt{\frac{396}{16}} \) = \( \sqrt{\frac{99}{4}} \) = \( \frac{\sqrt{99}}{2} = \frac{3\sqrt{11}}{2} \).
  32. ML = 3.
  33. MP = 1.5.
  34. Угол между ML и MP.
  35. Вектор \( \vec{ML} = L - M = (4.5 - 3, 1.5\sqrt{3} - 0, 3 - 0) = (1.5, 1.5\sqrt{3}, 3) \).
  36. Вектор \( \vec{MP} = P - M = (\frac{3}{4} - 3, \frac{3\sqrt{3}}{4} - 0, 0 - 0) = (-\frac{9}{4}, \frac{3\sqrt{3}}{4}, 0) \).
  37. Скалярное произведение \( \vec{ML} \cdot \vec{MP} = 1.5 \cdot (-\frac{9}{4}) + 1.5\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} + 3 \cdot 0 = -\frac{27}{8} + \frac{13.5}{4} = -\frac{27}{8} + \frac{27}{8} = 0 \).
  38. Так как скалярное произведение равно 0, то векторы ML и MP перпендикулярны.
  39. Следовательно, сечение — это прямоугольник MLPQ.
  40. Площадь прямоугольника S = ML \( \cdot \) MP.
  41. ML = 3.
  42. MP = 1.5.
  43. S = 3 \( \cdot \) 1.5 = 4.5.

Ответ: Площадь сечения равна 4.5.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание