14. В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 24 места, а в седьмом ряду 32 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Пусть $$a_n$$ — количество мест в $$n$$-м ряду. Так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число, то последовательность $$a_n$$ является арифметической прогрессией. Пусть $$d$$ — разность арифметической прогрессии. Из условия задачи известно, что $$a_3 = 24$$ и $$a_7 = 32$$. Используем формулу $$a_n = a_1 + (n-1)d$$: $$a_3 = a_1 + 2d = 24$$ $$a_7 = a_1 + 6d = 32$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 32 - 24$$ $$4d = 8$$ $$d = 2$$ Теперь подставим $$d=2$$ в первое уравнение: $$a_1 + 2(2) = 24$$ $$a_1 + 4 = 24$$ $$a_1 = 20$$ Найдём количество мест в последнем (16-м) ряду: $$a_{16} = a_1 + (16-1)d = 20 + 15(2) = 20 + 30 = 50$$ Ответ: 50 мест.