14. В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где число мест в ряду является членом прогрессии.

Обозначим:

• \( a_n \) — число мест в \( n \)-м ряду.
• \( d \) — разность арифметической прогрессии (увеличение числа мест в каждом следующем ряду).

Дано:

• \( n = 14 \) (всего рядов).
• \( a_5 = 27 \) (мест в 5-м ряду).
• \( a_8 = 36 \) (мест в 8-м ряду).

Найти: \( a_{14} \) (мест в последнем, 14-м ряду).

1. Найдем разность прогрессии \( d \):

Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Используем известные члены \( a_8 \) и \( a_5 \):

\( a_8 = a_5 + (8-5)d \)

\( 36 = 27 + 3d \)

\( 3d = 36 - 27 \)

\( 3d = 9 \)

\( d = 3 \) (места).

2. Найдем число мест в первом ряду \( a_1 \):

Используем формулу \( a_5 = a_1 + (5-1)d \):

\( 27 = a_1 + 4 × 3 \)

\( 27 = a_1 + 12 \)

\( a_1 = 27 - 12 \)

\( a_1 = 15 \) (мест).

3. Найдем число мест в последнем, 14-м ряду \( a_{14} \):

Используем формулу \( a_{14} = a_1 + (14-1)d \):

\( a_{14} = 15 + 13 × 3 \)

\( a_{14} = 15 + 39 \)

\( a_{14} = 54 \) (места).

Ответ: 54.