14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисована «змейка», состоящая из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 140.

Решение:

«Змейка» состоит из звеньев, длина которых последовательно увеличивается. Каждое следующее звено на 1 клетку длиннее предыдущего. Длина звена — это количество клеток в нём.

Пусть \( n \) — номер звена (начиная с 1).

Длина \( n \)-го звена равна \( n \).

В данном случае, последнее звено имеет длину 10. Это означает, что всего звеньев 10 (если считать, что длина звена равна его номеру).

Длина ломаной — это сумма длин всех звеньев.

Для последнего звена длиной 10, длина ломаной будет суммой длин звеньев от 1 до 10:

$$S_{10} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10$$

Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \).

Здесь \( n = 10 \), \( a_1 = 1 \), \( a_{10} = 10 \).

$$S_{10} = \frac{10(1 + 10)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 5 \cdot 11 = 55$$

Теперь рассмотрим случай, когда последнее звено имеет длину 140. Это означает, что всего звеньев 140.

Длина ломаной будет суммой длин звеньев от 1 до 140:

$$S_{140} = 1 + 2 + 3 + \dots + 140$$

Используем ту же формулу, где \( n = 140 \), \( a_1 = 1 \), \( a_{140} = 140 \).

$$S_{140} = \frac{140(1 + 140)}{2} = \frac{140 \cdot 141}{2} = 70 \cdot 141$$

Вычислим \( 70 \cdot 141 \):

\( 70 \cdot 141 = 7 \cdot 10 \cdot 141 = 7 \cdot 1410 \)

\( 7 \cdot 1410 = 9870 \)

Ответ: 9870.