14. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию. Высота прыжка уменьшается в 2 раза, значит, знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \). Первый прыжок \( h_1 = 5.6 \) м.

Нам нужно найти, при каком прыжке \( n \) высота \( h_n \) станет меньше 20 см. Сначала переведем метры в сантиметры: \( 5.6 \text{ м} = 560 \text{ см} \). Требуемая высота: \( 20 \text{ см} \).

Формула высоты \( n \)-го прыжка:

\[ h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \]

Подставим известные значения:

\[ h_n = 560 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

Мы ищем наименьшее \( n \), при котором \( h_n < 20 \text{ см} \).

\[ 560 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 20 \]

Разделим обе части на 560:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{20}{560} \]

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{28} \]

Теперь найдем, какая степень двойки будет больше 28.

• \( 2^1 = 2 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^4 = 16 \)
• \( 2^5 = 32 \)

Значит, \( \frac{1}{2^5} < \frac{1}{28} \) или \( \frac{1}{32} < \frac{1}{28} \).

Таким образом, \( n-1 = 5 \), откуда \( n = 6 \).

Проверим:

• \( h_1 = 560 \text{ см} \)
• \( h_2 = 560 \cdot \frac{1}{2} = 280 \text{ см} \)
• \( h_3 = 280 \cdot \frac{1}{2} = 140 \text{ см} \)
• \( h_4 = 140 \cdot \frac{1}{2} = 70 \text{ см} \)
• \( h_5 = 70 \cdot \frac{1}{2} = 35 \text{ см} \)
• \( h_6 = 35 \cdot \frac{1}{2} = 17.5 \text{ см} \)

Высота 17.5 см меньше 20 см. Значит, шестой прыжок — первый, при котором высота меньше 20 см.

Ответ: 6