Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим высоту первого прыжка как \( h_1 = 3.6 \) м. Высота каждого следующего прыжка в два раза меньше предыдущего, то есть \( h_n = h_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \), где \( n \) — номер прыжка.
Нам нужно найти такой номер прыжка \( n \), при котором высота \( h_n \) станет меньше 15 см. Переведём метры в сантиметры: \( 3.6 \text{ м} = 360 \text{ см} \).
Формула высоты прыжка в сантиметрах:
\[ h_n = 360 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]Мы ищем \( n \), при котором \( h_n < 15 \) см.
\[ 360 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 15 \]Разделим обе части неравенства на 360:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{15}{360} \]Упростим дробь:
\[ \frac{15}{360} = \frac{1}{24} \]Итак, неравенство принимает вид:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{24} \]Теперь найдём, для какого \( n \) это условие выполняется. Перепишем в виде степеней двойки:
\[ 2^{-(n-1)} < 2^{-\log_2{24}} \]Или, избавившись от минусов (меняя знак неравенства):
\[ n-1 > \log_2{24} \]Значение \( \log_2{24} \) находится между \( \log_2{16}=4 \) и \( \log_2{32}=5 \). Примерно \( \log_2{24} \approx 4.58 \).
Тогда:
\[ n-1 > 4.58 \]\( n > 5.58 \)
Наименьшее целое \( n \), удовлетворяющее этому неравенству, равно 6.
Проверим:
- \( h_1 = 360 \text{ см} \)
- \( h_2 = 360/2 = 180 \text{ см} \)
- \( h_3 = 180/2 = 90 \text{ см} \)
- \( h_4 = 90/2 = 45 \text{ см} \)
- \( h_5 = 45/2 = 22.5 \text{ см} \)
- \( h_6 = 22.5/2 = 11.25 \text{ см} \)
На 6-м прыжке высота впервые станет меньше 15 см.
Ответ: 6
