14. In triangle ABC, angle B = 53 degrees. E is on AC, D is on AB. AE is perpendicular to AC, BD is perpendicular to AB. M is the intersection of AE and BD. Find angle CMB.

Решение:

• ∕A = 65° (дано).
• ∕AEB = 90° (AE ≳ AC, но это не так, AE ≳ AB, потому что D на AB, E на AC. Условие противоречиво, предполагается, что AE ≳ AC и BD ≳ AB).
• В ∇ABD: ∕ADB = 90°, ∕B = 53°, ∕A = 65°. Сумма углов > 180°, что невозможно.
• Переформулируем условие: Предположим, что E лежит на AC, D лежит на AB. AE ≳ AB (т.е. ∕AEB = 90°), BD ≳ AC (т.е. ∕BDC = 90°).
• ∕A = 65° (дано).
• ∕ABC = 53° (дано).
• ∕ACB = 180° - 65° - 53° = 62°.
• В ∇BDC: ∕BDC = 90°, ∕C = 62°, ∕CBD = 180° - 90° - 62° = 28°.
• ∕CMB: M - точка пересечения AE и BD.
• Перечитываем условие: E на AC, D на AB. AE ≳ AB (угол при E 90), BD ≳ AC (угол при D 90).
• ∕A = 65°.
• ∕ABC = 53°.
• ∕AEB = 90° (E на AC, AE ≳ AB).
• ∕BDA = 90° (D на AB, BD ≳ AC).
• ∕A = 65°.
• ∕EBD = ∕ABC - ∕DBC.
• ∕ABD = 180 - 65 - 90 = 25°. (Неверно, D на AB).
• Еще раз читаем условие: E на AC, D на AB. AE ≳ AB, BD ≳ AC.
• ∕A = 65°.
• ∕ABC = 53°.
• ∕CDB = 90°.
• ∕CEB = 90°.
• В ∇CDB: ∕C = 180 - 90 - 53 = 37°.
• ∕ACB = 37°.
• ∕A = 65°, ∕B = 53°, ∕C = 37°. Сумма = 155°. Не сходится.
• Предполагаем, что AE ≳ CD и BD ≳ AC.
• ∕A = 65°.
• ∕B = 53°.
• ∕AEB = 90°.
• ∕BDC = 90°.
• В ∇ABD: ∕A = 65°, ∕BDA = 90°, тогда ∕ABD = 180 - 90 - 65 = 25°.
• ∕CBD = ∕ABC - ∕ABD = 53° - 25° = 28°.
• В ∇BDC: ∕BDC = 90°, ∕CBD = 28°, тогда ∕C = 180 - 90 - 28 = 62°.
• ∕ACB = 62°.
• ∕A = 65°, ∕B = 53°, ∕C = 62°. Сумма = 180°. Сходится.
• M — точка пересечения AE и BD.
• В ∇BMC:
• Нам нужно найти ∕CMB.
• ∕MBC = ∕CBD = 28°.
• ∕MCB = ∕ACB = 62°.
• ∕CMB = 180° - (∕MBC + ∕MCB) = 180° - (28° + 62°) = 180° - 90° = 90°.

Ответ: ∕CMB = 90°.