№14. Дөңес ABCD төртбұрышының қабырғаларының үзындықтары АВ = 9, ВС = 2, CD = 14, AD = 5. Егер АС диагоналы бүтін санмен өрнектелетіні белгілі болса, оның ұзындығын табыңыз. Стороны выпуклого четырёхугольника ABCD имеют длины АВ = 9, ВС = 2, CD = 14, AD = 5. Найдите длину диагонали АС, если известно, что она выражается целым числом. Жауап / Ответ:

Решение:

Для решения этой задачи используем неравенство треугольника для треугольников ABC и ADC.

В треугольнике ABC, сумма двух сторон больше третьей стороны:

\( AB + BC > AC \)

\( 9 + 2 > AC \)

\( 11 > AC \)

\( AC + AB > BC \)

\( AC + 9 > 2 \) (Это неравенство всегда выполняется, так как \( AC > 0 \))

\( AC + BC > AB \)

\( AC + 2 > 9 \)

\( AC > 7 \)

Из треугольника ABC следует, что \( 7 < AC < 11 \).

В треугольнике ADC:

\( AD + CD > AC \)

\( 5 + 14 > AC \)

\( 19 > AC \)

\( AC + AD > CD \)

\( AC + 5 > 14 \)

\( AC > 9 \)

\( AC + CD > AD \)

\( AC + 14 > 5 \) (Это неравенство всегда выполняется, так как \( AC > 0 \))

Из треугольника ADC следует, что \( 9 < AC < 19 \).

Объединяя оба условия для \( AC \):

\( 7 < AC < 11 \) и \( 9 < AC < 19 \).

Пересечение этих интервалов: \( 9 < AC < 11 \).

По условию задачи, длина диагонали \( AC \) является целым числом. Единственное целое число, которое удовлетворяет условию \( 9 < AC < 11 \), это \( 10 \).

Ответ: 10