14. а) Решите уравнение \(\sin 2x=2\cos^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right)\).

а) Используем тождество \(\cos\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=-\sin x\) и формулу двойного угла:

\[2\sin x\cos x=2\sin^2 x.\]

Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель:

\[2\sin x(\cos x-\sin x)=0.\]

Отсюда получаем два случая:

1. \(\sin x=0\), поэтому \(x=\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).
2. \(\cos x=\sin x\), поэтому \(\tan x=1\) и \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

б) Проверим, какие корни попадают в промежуток \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right)\).

Для корней \(x=\pi k\): \(-\frac52\le k<-1\), откуда целое \(k=-2\). Получаем \(x=-2\pi\).

Для корней \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\): \(-\frac52\le\frac14+k<-1\), то есть \(-\frac{11}{4}\le k<-\frac54\). Единственное целое значение — \(k=-2\). Получаем \(x=-\frac{7\pi}{4}\).

Ответ: \(-2\pi\) и \(-\frac{7\pi}{4}\).