14.(3 балла) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x³ - 9x² на отрезке [-1; 4]

Решение:

1. Найдем производную функции:

\( y' = (2x^3 - 9x^2)' = 6x^2 - 18x \)

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( 6x^2 - 18x = 0 \)

\( 6x(x - 3) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка [-1; 4]:
• При \( x = -1 \): \( y = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 = -2 - 9 = -11 \)
• При \( x = 0 \): \( y = 2(0)^3 - 9(0)^2 = 0 \)
• При \( x = 3 \): \( y = 2(3)^3 - 9(3)^2 = 2(27) - 9(9) = 54 - 81 = -27 \)
• При \( x = 4 \): \( y = 2(4)^3 - 9(4)^2 = 2(64) - 9(16) = 128 - 144 = -16 \)
4. Сравним полученные значения:

Наибольшее значение равно 0 (при \( x = 0 \)).

Наименьшее значение равно -27 (при \( x = 3 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 0, наименьшее значение равно -27.