131 В треугольниках DEF и MNP EF=NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектри- сы углов М и N — в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

Решение:

Дано:

• \( \triangle DEF \) и \( \triangle MNP \)
• \( EF = NP \)
• \( DF = MP \)
• \( \angle F = \angle P \)
• \( EO \) и \( DO \) — биссектрисы \( \angle E \) и \( \angle D \) соответственно. \( O \) — точка пересечения.
• \( MO \) и \( NO \) — биссектрисы \( \angle M \) и \( \angle N \) соответственно. \( K \) — точка пересечения.

Доказать:

• \( \angle DOE = \angle MKN \)

Доказательство:

1. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle DEF = \triangle MNP \) по II признаку (если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).
2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle E = \angle M \) и \( \angle D = \angle N \).
3. Так как \( EO \) и \( DO \) — биссектрисы углов \( E \) и \( D \) соответственно, то \( \angle DEO = \frac{1}{2} \angle E \) и \( \angle EDO = \frac{1}{2} \angle D \).
4. В \( \triangle DOE \) сумма углов равна 180°, следовательно, \( \angle DOE = 180° - \angle DEO - \angle EDO = 180° - \frac{1}{2} \angle E - \frac{1}{2} \angle D \).
5. Аналогично, так как \( KO \) и \( NO \) — биссектрисы углов \( M \) и \( N \) соответственно, то \( \angle KMN = \frac{1}{2} \angle M \) и \( \angle KNM = \frac{1}{2} \angle N \).
6. В \( \triangle MKN \) сумма углов равна 180°, следовательно, \( \angle MKN = 180° - \angle KMN - \angle KNM = 180° - \frac{1}{2} \angle M - \frac{1}{2} \angle N \).
7. Так как \( \angle E = \angle M \) и \( \angle D = \angle N \) (из равенства \( \triangle DEF \) и \( \triangle MNP \)), то \( 180° - \frac{1}{2} \angle E - \frac{1}{2} \angle D = 180° - \frac{1}{2} \angle M - \frac{1}{2} \angle N \).
8. Следовательно, \( \angle DOE = \angle MKN \).

Что и требовалось доказать.