13. Вычислить площадь основания (S_{ΔABC}) и объём пирамиды с вершинами в точках A(7;2;4), B(5;−1;−2), C(3;−2;1), D(−4;2;1).

Найдём векторы \(\overrightarrow{AB}=(-2,-3,-6)\), \(\overrightarrow{AC}=(-4,-4,-3)\), \(\overrightarrow{AD}=(-11,0,-3)\).

Площадь основания:

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-15,18,-4),\quad \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{225+324+16}=\sqrt{565}.\]

\[S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{565}}2.\]

Объём пирамиды:

\[V=\frac16\left|\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}\right|.\]

\[(-15,18,-4)\cdot(-11,0,-3)=165+12=177,\]

поэтому \(V=\frac{177}{6}=\frac{59}{2}\).

Ответ: \(S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{565}}2\), \(V=\frac{59}{2}\).