13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону ВС на отрезки ВК = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите длину стороны DC.

Решение:

В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону BC. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Угол D прямой, \( \angle D = 90^{\circ} \). Биссектриса делит угол пополам, значит \( \angle ADK = \angle KDC = 45^{\circ} \).

В прямоугольнике противоположные стороны равны: \( AD = BC \) и \( DC = AB \). Также все углы прямые.

Рассмотрим треугольник KDC. \( \angle DCK = 90^{\circ} \). \( \angle KDC = 45^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Значит, \( \angle DKC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle KDC = \angle DKC = 45^{\circ} \), то треугольник KDC — равнобедренный. Следовательно, \( KC = DC \).

По условию:

• \( BK = 6 \) см.
• \( KC = DC \).
• Периметр прямоугольника \( P = 48 \) см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле \( P = 2(AB + BC) \).

Мы знаем, что \( DC = AB \) и \( BC = BK + KC \). Подставим это в формулу периметра:

\[ 48 = 2(DC + (BK + KC)) \]

Так как \( KC = DC \), заменим \( KC \) на \( DC \) и \( BK \) на 6:

\[ 48 = 2(DC + (6 + DC)) \]\[ 48 = 2(2DC + 6) \]\[ 48 = 4DC + 12 \]\[ 4DC = 48 - 12 \]\[ 4DC = 36 \]\[ DC = \frac{36}{4} = 9 \]

Итак, \( DC = 9 \) см.

Проверим:

• \( DC = 9 \) см, значит \( AB = 9 \) см.
• \( KC = DC = 9 \) см.
• \( BC = BK + KC = 6 + 9 = 15 \) см.
• Периметр \( P = 2(AB + BC) = 2(9 + 15) = 2(24) = 48 \) см.

Все условия соблюдены.

Ответ: 9 см.