13. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна \(4\sqrt3\), а длина бокового ребра равна \(\sqrt{43}\). Найдите объём пирамиды.

Центр правильного треугольника удалён от его вершины на радиус описанной окружности: \[R=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3}=4.\]

Высота пирамиды: \[h=\sqrt{(\sqrt{43})^2-4^2}=\sqrt{43-16}=\sqrt{27}=3\sqrt3.\]

Площадь основания: \[S=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{(4\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=12\sqrt3.\]

Объём: \[V=\frac13Sh=\frac13\cdot12\sqrt3\cdot3\sqrt3=36.\]

Ответ: 36.