13 В двузначном числе цифра десятков на 1 больше цифры единиц. Если цифры поменять местами, число уменьшится на 9. Найдите исходное число.

Решение:

Пусть исходное двузначное число — \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, \( b \) — цифра единиц.

По условию, цифра десятков на 1 больше цифры единиц:

\( a = b + 1 \)

Если цифры поменять местами, число станет \( 10b + a \). По условию, это новое число на 9 меньше исходного:

\( 10b + a = (10a + b) - 9 \)

Упростим второе уравнение:

\( 10b + a - 10a - b = -9 \)

\( 9b - 9a = -9 \)

Разделим обе части на 9:

\( b - a = -1 \)

Из первого уравнения у нас \( a = b + 1 \). Подставим это во второе уравнение:

\( b - (b + 1) = -1 \)

\( b - b - 1 = -1 \)

\( -1 = -1 \)

Это уравнение верно при любых \( a \) и \( b \), удовлетворяющих первому условию. Значит, мы должны найти пару цифр \( (a, b) \), где \( a = b + 1 \).

Возможные пары \( (a, b) \):

• \( b=0, a=1 \) → число 10. \( 10 = 01 + 9 \)? Нет, \( 10 = 1 + 9 \). Число 10. Цифра десятков (1) на 1 больше цифры единиц (0). При перестановке: 01. \( 10 - 1 = 9 \). Верно.
• \( b=1, a=2 \) → число 21. \( 21 = 12 + 9 \)? Да. Цифра десятков (2) на 1 больше цифры единиц (1). При перестановке: 12. \( 21 - 12 = 9 \). Верно.
• \( b=2, a=3 \) → число 32. \( 32 = 23 + 9 \)? Да. Цифра десятков (3) на 1 больше цифры единиц (2). При перестановке: 23. \( 32 - 23 = 9 \). Верно.
• \( b=3, a=4 \) → число 43. \( 43 = 34 + 9 \)? Да. Цифра десятков (4) на 1 больше цифры единиц (3). При перестановке: 34. \( 43 - 34 = 9 \). Верно.
• \( b=4, a=5 \) → число 54. \( 54 = 45 + 9 \)? Да. Цифра десятков (5) на 1 больше цифры единиц (4). При перестановке: 45. \( 54 - 45 = 9 \). Верно.
• \( b=5, a=6 \) → число 65. \( 65 = 56 + 9 \)? Да. Цифра десятков (6) на 1 больше цифры единиц (5). При перестановке: 56. \( 65 - 56 = 9 \). Верно.
• \( b=6, a=7 \) → число 76. \( 76 = 67 + 9 \)? Да. Цифра десятков (7) на 1 больше цифры единиц (6). При перестановке: 67. \( 76 - 67 = 9 \). Верно.
• \( b=7, a=8 \) → число 87. \( 87 = 78 + 9 \)? Да. Цифра десятков (8) на 1 больше цифры единиц (7). При перестановке: 78. \( 87 - 78 = 9 \). Верно.
• \( b=8, a=9 \) → число 98. \( 98 = 89 + 9 \)? Да. Цифра десятков (9) на 1 больше цифры единиц (8). При перестановке: 89. \( 98 - 89 = 9 \). Верно.

Поскольку в условии не указано, что решение должно быть единственным, и все найденные числа удовлетворяют условиям, мы можем выбрать любое. Если предполагается одно конкретное решение, то наиболее стандартным является выбор наименьшего возможного числа.

Ответ: 10.