13. Сначала на доске было написано число 2017. Кирилл играет в игру: он может либо умножить написанное число на 2, либо вычесть из написанного числа 17. Получен- ное число Кирилл записывает на доске вместо прежнего. Может ли Кирилл, действуя таким образом, в конце концов получить число 2019? Если да — покажите, как. Если нет — объясните, почему.

Решение:

Рассмотрим чётность чисел. Исходное число 2017 — нечётное.

1. Умножение на 2:

Любое число (чётное или нечётное), умноженное на 2, всегда даёт чётное число.

2. Вычитание 17:

Если из чётного числа вычесть нечётное (17), результат будет нечётным.

Если из нечётного числа вычесть нечётное (17), результат будет чётным.

Целевое число 2019 — нечётное.

Анализ операций:

Любая последовательность операций:

• Нечётное (2017) * 2 = Чётное
• Чётное * 2 = Чётное
• Нечётное - 17 = Чётное
• Чётное - 17 = Нечётное

Чтобы получить нечётное число 2019, последняя операция должна быть вычитанием 17 из чётного числа.

Однако, после первой операции (умножение на 2) мы получаем чётное число.

Применим операцию вычитания 17:

\( 2017 \cdot 2 = 4034 \) (чётное)

\( 4034 - 17 = 4017 \) (нечётное)

\( 4017 \) — это число, которое можно получить. Но нам нужно 2019.

Проверим обратный путь от 2019:

Чтобы получить 2019 (нечётное), последняя операция должна быть либо:

• \( X - 17 = 2019 \) → \( X = 2019 + 17 = 2036 \) (чётное)
• \( X \cdot 2 = 2019 \) (невозможно, так как 2019 не делится на 2)

Значит, предыдущее число должно быть 2036.

Чтобы получить 2036 (чётное), предыдущая операция могла быть:

• \( Y - 17 = 2036 \) → \( Y = 2036 + 17 = 2053 \) (нечётное)
• \( Y \cdot 2 = 2036 \) → \( Y = 1018 \) (чётное)

Смотрим на чётность чисел. Каждое действие меняет чётность следующим образом:

• Умножение на 2: нечётное → чётное, чётное → чётное.
• Вычитание 17: нечётное → чётное, чётное → нечётное.

Исходное число 2017 — нечётное.

Целевое число 2019 — нечётное.

Чтобы перейти от нечётного к нечётному, нужно выполнить чётное количество операций, меняющих чётность (вычитание 17), и любое количество операций умножения на 2.

Проверим, возможно ли получить 2019. Заметим, что любое число, полученное умножением на 2, будет чётным. Вычитание 17 меняет чётность. Чтобы получить 2019 (нечётное) из 2017 (нечётное), нужно, чтобы чётность менялась нечётное число раз. Умножение на 2 не меняет чётность (если исходное число чётное). Если число нечётное, умножение на 2 делает его чётным. Вычитание 17 меняет чётность.

Начнем с 2017 (нечетное).

1. Умножить на 2: $$2017 \times 2 = 4034$$ (четное).

2. Вычесть 17: $$4034 - 17 = 4017$$ (нечетное).

3. Умножить на 2: $$4017 \times 2 = 8034$$ (четное).

4. Вычесть 17: $$8034 - 17 = 8017$$ (нечетное).

Мы видим, что каждая операция умножения на 2 делает число чётным. Каждая операция вычитания 17 меняет чётность. Чтобы остаться нечётным, нужно выполнить нечётное число вычитаний 17.

Можем ли мы получить 2019? Посмотрим на остаток от деления на 17.

\( 2017 \pmod{17} \). \( 2017 = 17 \times 118 + 11 \). Остаток 11.

\( 2019 \pmod{17} \). \( 2019 = 17 \times 118 + 13 \). Остаток 13.

Операция умножения на 2: \( (x \cdot 2) \pmod{17} \).

Операция вычитания 17: \( (x - 17) \pmod{17} = x \pmod{17} \). То есть вычитание 17 не меняет остаток от деления на 17.

Исходное число имеет остаток 11 при делении на 17. Целевое число имеет остаток 13.

Операция умножения на 2 может изменить остаток:

• \( 11 \cdot 2 = 22 \equiv 5 \pmod{17} \)
• \( 5 \cdot 2 = 10 \pmod{17} \)
• \( 10 \cdot 2 = 20 \equiv 3 \pmod{17} \)
• \( 3 \cdot 2 = 6 \pmod{17} \)
• \( 6 \cdot 2 = 12 \pmod{17} \)
• \( 12 \cdot 2 = 24 \equiv 7 \pmod{17} \)
• \( 7 \cdot 2 = 14 \pmod{17} \)
• \( 14 \cdot 2 = 28 \equiv 11 \pmod{17} \) (цикл повторился)

Так как операция вычитания 17 не меняет остаток от деления на 17, а умножение на 2, начиная с остатка 11, никогда не даёт остаток 13, то получить число 2019 невозможно.

Ответ: Нет, не может.